3次関数と放物線が1点で接するときについて

質問

C: f(x)=x^3-x および g(x)=x^2+k (k>0) が接するとき、kの値を
求めよという問題では

x=tで接するとして

f'(t)=g'(t) かつ　f(t)=g(t) -(*)

から、t,kの連立方程式を解くという解法以外に、計算量を省くことのできる別の解法があるのでしょうか？

2つの放物線が接するときなら、連立して（判別式）=0がありますが
3次関数と放物線での別解を探しています。

以前、本かネットで(*)の解法より計算量の少なくなる別解が書いて
あるのをどこかで見たような気がするのですが、いくら探しても
見つからないので質問させていただくことにしました。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.6

take_5

もっと簡単にしたいならば。。。。。。

y＝x^3-x-x^2-kのグラフとy＝0とが接すればよいのですから、y＝x^3-x-x^2-kにおいて、(極小値)×(極大値)＝0とすれば良いです。

でも、だんだん本質から外れていくように思えます。

それと、Ｎｏ3の方が訂正されていますが、方法としては妥当です。
ただ、計算違いをしているようです。

2つの曲線の接点のx座標をα、もうひとつの交点のxをβとすると、次式が成立する。
全てのxに対して　x^3-x-x^2-k＝(x-β)(x-α)＾2が成立するから、右辺を展開して両辺の係数を比較する。
2α＋β＝1、α＾2＋2αβ＝-1、α＾2β＝kであり、k＞0よりk＝5/27.
(α＝1の時は、k＝-1となりk＞0に反する)

回答No.5

N64

#3 ですが、間違っていますので忘れてください。

回答No.4

take_5

質問された方の方法が、計算も簡単ですし一般的な方法と思います。
ただ、別解があればという事でしたら、次の方法はどうでしょうか。

f(x)=x^3-x とg(x)=x^2+k　とが重解を持てばいいわけですから、x^3-x ＝x^2+kが重解を持てばいい。
x^3-x-x^2＝kと変形して、y＝k　(k＞0)とy＝x^3-x-x^2のグラフが接すると良い。
微分して増減表を書いて、y＝x^3-x-x^2のグラフを描き、その3次曲線と　x軸に平行なy＝k　が接する条件をk＞0で求めれば良いだけです。
そうすると、k＝5/27は直ぐ分かると思います。

お礼

どうもありがとうございます。
文字定数を分離するのですね。

やっぱり、接点のy座標一致、接線の傾き一致
がベストですか。。。

回答No.3

N64

単純に、
k = -1 とすれば、f(x) - g(x) = (x - 1)^2・(x + 1)
となるので、f と g は接します。
より一般的には、
f(x) - g(x) = (x - a)(x - a)(x - b)
とおいて、右辺を展開し、左右を比較すると、
2a + b = 1 ・・・(1)
a(2a + b) =- -1 ・・・(2)
k = a^2 * b ・・・(3)
となるので、１式と２式から、a と　b を求めると、
a = 1, b = -1 となるので、
k = -1 が求まります。

お礼

お答えくださってありがとうございました。
重解を持つことを因数の形にし、展開して係数比較ですね。

回答No.2

jamf0421

質問された方の主旨に反するかもしれませんが、f(t)=g(t)かつf'(t)=g'(t)がそれほど大変にも見えないのですが...
h(t)=f(t)-g(t)とおけば右上がりの三次式のグラフになります。
h'(t)=f'(t)-g'(t)=3t^2-2xt1=(3t+1)(t-1)ですから、h(t)のグラフの極大がt=-/3でf(-1/3)=5/27-k、極小がt=1でf(1)=-k-1になります。
極大値あるいは極小値がｘ軸に（交わりでなく）接すれば答えになるでしょうからk=5/27またはk=-1、そしてk>0の条件ならばk=5/27ということですね。

質問者のお望みほどにスマートでもエレガントでもないのでわかりきったことと言われればお詫びします。

お礼

いえいえ、とんでもない。
早々にありがとうございました。

確かにおっしゃるとおり、f(t)=g(t)かつf'(t)=g'(t)　それほど手間じゃないですね。

もっと一般的な形で、このような3次関数と放物線の問題を、3次関数の特殊性かなんかを使って、それこそ瞬間に解く方法をどこかで見たような気がして気になってます。。。

手許にある参考書やネットの数学サイトは調べつくしたので、明日、手持ちではない心当たりの本を確かめに本屋に行ってみるつもりです。

回答No.1

rabbit_cat

3次方程式
a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0
が重根を持つのは、3次方程式の判別式
D = -4ac^3 - 27a^2*d^2 + 18abcd + b^2*c^2 - 4b^3*d
が0になるときなので、f(x)-g(x)=0として、この判別式=0となる条件をもとめればよいと思いますが、問題は、この判別式が複雑すぎて覚える気がしないことか。

お礼

早々にありがとうございました。
3次方程式にこのような判別式があるなんて知りませんでした。
質問からはずれますが、この判別式D=0のときというのは
(x-α)^3　になるときですか？
(x-α)^2(x-β)のときもですか？