数列の問題です（再投稿）

質問

先日、qa2528335で質問し、回答も頂いたのですがいまいち分かりません
どなたかもう一度解説をお願いできないでしょうか。

問題：２つの数の組が次の様に並んでいる。
(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)、 (3,1)、・・・
設問１：左から13番目の数の組み合わせは何と何か。

(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)、 (3,1）・・・と１３番目まで
組み合わせを順番に書いてみたところ、（3,3）という数の組み合わせになりました。

設問２：（10,8）の組は、左から何番目か。こちらも、馬鹿らしいのですが順番に書き出して見たところ146番目でこの組にあたります。

これをもう少し、スマートに解く方法（書き出さないで）はないですか？
数学は苦手なので、出来るだけわかりやすく教えていただければ幸いです。

回答No.2

debut

群数列的に、群の区切りを｜とすると、
(1,1)｜(1,2)(2,1)｜(1,3)(2,2)(3,1)｜・・・
第１群は和が２になる２数の組、１組
第２群は和が３になる２数の組、２組
第３群は和が４になる２数の組、３組
・・・・
そして、群の中の順序は、左の数を小さい方から順に
並べるものとする。

とみれば、その２数がどこの群にあるのかは、その２数
の和から１を引いたものになり、その群の中での順番は
左の数になる、ということになります。
そして、区切りを考えないときの順番は、その前の群
までの総数を求めて、その数の組の 群内での順番をたせば
よいことになります。
それから、第ｎ群のメンバーはｎ個あることもみておきます。

例えば、設問２の（10,8) で見てみれば、
・足して18 なので、17群にある。
・16群までの個数の和は、1+2+・・・+16=(16+1)×16÷2=136
・左の数が10なので、この群の中の10番目。
　　　↓
　(10,8) は (16群までの個数136)＋(17群での10番目)で
　１４６番目だとわかります。

逆に、設問１のように、左から13番目ときかれたら、
1+2+・・・+n の和が13より小さくなるときの最大のｎを求め、
1+2+3+4=10（これが、第４群までの個数）なので、13番目の
数は第５群、つまり、足して６になる２数の組であり、しかも
３番目なので、左の数は３である。よって、(3,3)だ、と求め
られます。
※左からｍ番目のとき、最大のｎは、等差数列の和より
　ｎ(ｎ＋１)/２≦ｍ　で求めます。
（もちろん、13番目くらいなら必要ないですが、ほかの大きい
　数の場合は。）

回答No.1

NNori

こんな規則ですか？
(1,1) １個
(1,2),(2,1)　　　　　　　　　　２個
(1,3),(2,2),(3,1)　　　　　　　３個
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)　　　　４個
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)　５個

ということは(10,8)は、１７段目の左から１０個目ですよね。
１６段目までに何個あるかは、
１＋２＋３＋... ＋１６　＝　（１＋１６）＊１６／２＝１３６
ということは１３６個前にあって１０個目なので１４６個目
ですね。