数列の問題？

質問

先ほどフジテレビで放送していた「たけしのコマネチ大学数学科」という
番組で扱われていた問題についての質問です。
問題の内容は以下のとおりです。

家が１から順に並んで建っています。
一番左の家（１の家）から順に足していったときの和と、一番右の家から
順に足していったときの和が等しくなるとき、その真ん中にある家は
何番でしょう。
という問題です。
例題として、仮に１から１０までの家が建っているとします。
１から５まで足した和１５と８、７を足した和１５が等しくなるので
真ん中にあるのは「６」、つまり答えは６となります。
足していく和の左端は必ず「１」ですが、右端は必ずしも
建っている家の最大値（例題でいうなら「１０」）とは限りません。
番組で扱われた問題は、家の数が１０以上５０以下で、答えは３５でした。
（「１から３４までの和＝３６から４９までの和」で、答えが「３５」）

解説ではラマヌジャンのなんたらを使っていたのですが、サッパリでした。
これは数列を使っても解くことができるでしょうか。
もし解けそうであれば、解説をしていただけるととても助かります。
私も何度かやってみたのですが、ごちゃごちゃになってしまいました。
お力添えよろしくお願い致します。

回答No.1

debut · ベストアンサー

数列で。
1からk-1の和と、k+1からnまでの和が等しいとすれば、
和の公式、(初項＋末項)×項数/２で、
(1+k-1)(k-1)/2=(k+1+n)(n-k)/2
整理すると、
k(k-1)=(n+k+1)(n-k)
k^2-k=n^2+n-k^2-k
2k^2=n^2+n
k^2=(n^2+n)/2
kは自然数だから、k=√{(n^2+n)/2}
となって、かなりしぼられます。あとはnに50から入れていくか？

お礼

お礼が遅くなり、申し訳ありませんでした。
とても分かりやすく説明していただいてありがとうございます。
やはりラマヌジャンの法則を使うのが一番良い問題なのかもしれないですね。
ご回答していただき、ありがとうございました。