次の問題の求め方についてうまいやり方があれば教えてください。

質問

次の問題の求め方についてうまいやり方があれば教えてください。
答えは4回になりますが、カードを1枚ずつ並べて数えるやり方以外の方法だと助かります。
また数学は苦手なほうなので、あまり複雑ではないやり方でお願いします。

16枚のカードを一定の切り方できることができる。
?切り方は、カード16枚を上から8枚のグループAと、それ以外のグループBに分かる。
?次に順番がAグループの1番上、Bグループの1番上、・・・というように、AグループのカードとBグループのカードを交互に重ねていく。
この??を動作を連続して行うことを、1回の手順とする。
このとき、何回カードを切ると、カードの順番は元に戻るか。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１です。

＞＞ｙ＝２ｘ－１　（ｘ≦８のとき）
＞＞ｙ＝２ｘ－１６（ｘ≧９のとき）
＞この式の求め方も教えてもらえないでしょうか。

１）　上から８枚のグループＡの場合は、ｘ≦８のとき　に相当します。
　このグループＡのカードは、切った後に、１枚ずつカードが入ってきますので、

　　　１，３，５，７，９，１１，１３，１５

という順番になります。
　この順番は、１からの奇数になりますので、

　　　２ｘ－１

と表すことができます。

２）　今度は、上から９枚目以降のグループＢについてですが、これは　ｘ≧９のとき　に相当します。
　グループＢのカードは、グループＡのカードの間に挟み込まれますので、

　　２，４，６，８，１０，１２，１４，１６

という順番になります。
　この順番は２から始まる偶数になりますが、切る前は９番目のカードが２になりますので、９番目を１番目にするためにいったん８を引いて２倍します。

　　２（ｘ－８）＝２ｘ－１６

お礼

ご回答ありがとうございます。
わかりやすく理解することができました。

回答No.3

staratras

前の方の解答と基本的な考え方は同じですが、分かり易く整理してみます。
まず次のように書くと、1回カードを切るとどこからどこへ移動するかがよく分かります。
便宜上AグループをA1からA8まで、BグループをA9からA16まで部屋があるとし、最初Aには1から8まで、Bには9から16まで入居していると考えます。

(切る前）　　　　　　(切ったあと）
AグループBグループ　AグループBグループ
A1=1 　 A9=9 　 　 A1=1 A9=5
A2=2 　 A10=10 　 A2=9 A10=13
A3=3 　A11=11 　　A3=2 A11=6
A4=4 　A12=12　 　A4=10 A12=14
A5=5 　A13=13 　　A5=3 A13=7
A6=6 　A14=14　　 A6=11 A14=15
A7=7 　A15=15 　　A7=4 A15=8
A8=8 　A16=16 　　A8=12 A16=16

この切る前と切ったあとを見比べて分かるのは、

＊A1とA16の入居者は切っても変わらない。

＊A2からA15までの入居者は切るとすべて部屋が次のように変わる。

　　A2→A3、A3→A5、A4→A7、A5→A9、A6→A11、A7→A13､　A8→A15、
A9→A2、A10→A4、A11→A6、A12→A8､ A13→A10、A14→A12、A15→A14

この部屋替えの関係は、2回目以降も変わらない(入居する数字だけが変わっていきます）ので、 部屋替えには、次のパターンがあることが分かります。

１、変わらないもの、A1→A1→A1およびA16→A16→A16

２、2回目に元に戻るもの、A6→A11→A6(以下同じ、これはA6の入居者とA11の入居者が部屋の交替を繰り返すことを意味します）

３、4回目に元に戻るもの、
　　A2→A3→A5→A9→A2(これはA2の入居者がA3、A5、A9、A2と転居して4回目に元のA2へ戻ることを意味しますが、A3の入居者から考え始めればA3、A5、A9、A2、A3の順になりやはり4回目に戻ります.。以下同様です）
　　A4→A7→A13→A10→A4(以下同じ）
　　A8→A15→A14→A12→A8(以下同じ）

１、２、３のパターンにA1からA16までの部屋がすべて1回だけもれなく現れます。
１、２、３が同時に進行しますので、最初の状態に戻る最小の切る回数は4回となります。

回答No.1

Mr_Holland

カードの並び替えに勝るほどうまいやり方とは思えませんが、次にように考えることができます。

　切る前のカードの上からの順番をｘ枚目、１回切った後のそのカードの上からの順番をｙ枚目としますと、次の関係が成り立ちます。

　　ｙ＝２ｘ－１　（ｘ≦８のとき）
　　ｙ＝２ｘ－１６（ｘ≧９のとき）

　これを元に切るたびにカードが何枚目に移動するか考えていきます。

１枚目→１枚目→１枚目→１枚目→１枚目　　周期１（パターンＡ）
２枚目→３枚目→５枚目→９枚目→２枚目　　周期４（パターンＢ）
３枚目→５枚目→９枚目→２枚目→３枚目　　周期４（パターンＢの１回遅れ）
４枚目→７枚目→13枚目→10枚目→４枚目　　周期４（パターンＣ）
５枚目→９枚目→２枚目→３枚目→５枚目　　周期４（パターンＢの２回遅れ）
６枚目→11枚目→６枚目→11枚目→６枚目　　周期２（パターンＤ）
７枚目→13枚目→10枚目→４枚目→７枚目　　周期４（パターンＣの１回遅れ）
８枚目→15枚目→14枚目→12枚目→８枚目　　周期４（パターンＥ）
９枚目→２枚目→３枚目→５枚目→９枚目　　周期４（パターンＢの3回遅れ）
10枚目→４枚目→７枚目→13枚目→10枚目　　周期４（パターンＣの3回遅れ）
11枚目→６枚目→11枚目→６枚目→11枚目　　周期２（パターンＤの1回遅れ）
12枚目→８枚目→15枚目→14枚目→12枚目　　周期４（パターンＥの3回遅れ）
13枚目→10枚目→４枚目→７枚目→13枚目　　周期４（パターンＣの2回遅れ）
14枚目→12枚目→８枚目→15枚目→14枚目　　周期４（パターンＥの2回遅れ）
15枚目→14枚目→12枚目→８枚目→15枚目　　周期４（パターンＥの1回遅れ）
16枚目→16枚目→16枚目→16枚目→16枚目　　周期１（パターンＦ）

　以上をまとめると、カードの順番の変わり方には　６つのパターンがあり、その周期は　１，２，４　の３通りがあります。
　この３通りの周期の最小公倍数は　４　ですので、　４回目　で元に戻ると言えます。

補足

ご回答ありがとうございます。
分かりやすくて助かります。

＞ｙ＝２ｘ－１　（ｘ≦８のとき）
＞ｙ＝２ｘ－１６（ｘ≧９のとき）

この式の求め方も教えてもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。