高校数学"組合せ"の問題

質問

ふとした事情から,高校の時ものすごく苦手だった確率・統計の教科書を見返すことになってしまいました.
その中の問題,

問）15冊の異なる本を5冊ずつ次のように分ける仕方の数を求めよ.
(1)書棚の上・中・下段に並べる.　
(2)3つの束にくくる.

5冊ずつ3つに分けるのだから順番は関係なく,組合せの問題で,答えは　15Ｃ5　×　15Ｃ5　通り　だと考えました.しかし巻末の答えは,(1)については上記の通りですが,(2)は　14Ｃ4　×　9Ｃ4　通り　でした.　
上の2つは全く同じことを言っているとしか思えません.どなたか易しくかつ数学的にご指導願えませんでしょうか.

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

(1)は、15C5×10C5ですよね。

(2)は、

(1)は上中下と区別しているのに対して、(2)はその区別をなくしているので、上中下の並び方の数だけ場合の数が減ります。

３つの並び方の数は3!ですので、

(2)の答えは、15C5×10C5 / 3! (= 14Ｃ4　×　9Ｃ4)
になります。

式が
14Ｃ4　×　9Ｃ4
となるときの考え方は、

まず１冊特定の本Aを選んで、3つの束のうちで、本Aが含まれる束について考えます。

すると、その選び方は、14C4になります。

次に、残りの10冊の本のうちの一冊の本Xが含まれる束について考えると、残り9冊の中から4冊選ぶことになるので、9C4。

これを掛け算することで求めています。

お礼

(1)　15Ｃ5　×　10Ｃ5です.入力ミスです.

(2)　さて,　sunasearch様はじめ,皆様のご指導と参考書等を何度か読んでみて理解することは出来ました.
区別出来るかどうかがカギのようですね.
ありがとうございました.

回答No.3

Naoki_M

１５冊の異なる本に、１～１５巻までの番号を振ってみます。
(2)で１～５巻、６～１０巻、１１～１５巻の３つの束にくくる、という場合を考えると、(1)では、
上段に１～５巻、中段に６～１０巻、下段に１１～１５巻
上段に１～５巻、中段に１１～１５巻、下段に６～１０巻
上段に６～１０巻、中段に１～５巻、下段に１１～１５巻
上段に６～１０巻、中段に１１～１５巻、下段に１～５巻
上段に１１～１５巻、中段に１～５巻、下段に６～１０巻
上段に１１～１５巻、中段に６～１０巻、下段に１～５巻
これら６通りの並べかたはそれぞれ区別しなければいけません。

したがって、(1)の場合の数=(2)の場合の数×6　です。
(1)の場合の数=15C5×10C5なので、
(2)の場合の数=15C5×10C5÷6=14C4×9C4
となります。

ポイントは「同じ冊数の組は区別しない」ということです。この問題は「５冊ずつの組が３つ」あるので6(=3!)で割っています。参考までに、同じような問題を考えてみましょう。問題文の条件を変えて次のようにします。
(1')書棚の上段に６冊、中段に５冊、下段に４冊並べる．
(2')６冊、５冊、４冊の３つの束にくくる．

(1'')書棚の上段に７冊、中段に４冊、下段に４冊並べる．
(2'')７冊、４冊、４冊の３つの束にくくる．

答え
(1')15Ｃ6　×　9Ｃ5
(2')15Ｃ6　×　9Ｃ5（３つの束は冊数がそれぞれ異なるので区別できます）
(1'')15Ｃ7　×　8Ｃ4
(2'')15Ｃ7　×　8Ｃ4　÷2!（４冊の束が２つありますが、これらは同じ冊数なので区別しません）

高校の教科書でしたら、おそらく別のページに似たような例題（答えだけではなく解説もついているもの）も載っているのではないかと思います。探してみてください。もし載っていなければ、学習にはもっと詳しいテキストをお使いになることをおすすめします。

余談ですが、バイトで数学を教えたことのある立場から見て、この教科書の問題はおかしいです。こんな問題を試験で出してしまったらクレームが来ます。問題文に「分ける」とだけ書いてあればよいのですが、(1)の文には「並べる」という言葉が入っているので、組合せではなく順列を連想させてしまいます。

例えば、上段に１～５巻を並べるとして、「左から順に１巻、２巻、３巻、４巻、５巻」「左から順に１巻、２巻、３巻、５巻、４巻」......「左から順に５巻、４巻、３巻、２巻、１巻」という１２０通りの場合をそれぞれ区別しそうな気がしてしまいます。このように解釈して計算すると、答えは15P5×10P5×5P5になってしまいます。

この問題と同じような計算をさせたいなら、「５冊ずつ甲、乙、丙の３組に分ける」「５冊ずつ３組に分ける」というふうにすべきですね。本題とは関係のない話になってしまいました。失礼しました。

お礼

ご回答ありがとうございます.
わかりやすくよく理解できました.数学が苦手だったため理解は出来ても心が納得しない,そういう感じです.
ところで,最近の試験はクレームを付けてもよいのでしょうか.私の高校の頃は先生から”察しろ”とよく言われたものでした.なにも察することは出来ませんでしたが・・・.

回答No.2

mikisuke_0226

(1)は上・中・下の名前の付いた３つの組への分け方。
(2)は名前を付けずに３つの組に分けるわけ方。

この違いがあるので、
(1)での上・中・下、上・下・中、中・上・下、中・下・上、下・上・中、下・中・上の６通りの分け方が(2)では同じものとみなされるので、No.1さんの回答のように３！＝６で割ったりなどすることになります。

お礼

mikisuke_0226様.ご指導ありがとうございます.
名前が付く＝区別できるということですかね.
ポイント差し上げられなくて申し訳ありません.2人分しかないので勘弁願います.
最初にご回答いただいた方と,一番文章の長かった方に差し上げました.決して回答の良否だけではございませんので,あしからず.