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小学校算数 規則性の解説と答え教えてください
- 1,2,3,4の数字だけを使ってできる整数を小さい順に並べています。123は何番目の数かを教えてください。
- 1,2,3,4の数字だけを使ってできる整数を小さい順に並べています。左から数えて2011番目の数は何ですか。
- 解答は、0の代わりに4がある四進法で考えると、123は27番目の数で、左から数えて2011番目の数は133123です。
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まず始めに言っておきますと、僕はこの問題は好きでありません 僕は学生の頃、コンピュータが好きで機械語も勉強したことがあり、 ２進数、１６真数はコンピューターを学ぶ上で使うことがあります 今はパソコン、64ビットの CPU ですが、昔は 4ビット、8ビット、 16ビットの CPU がありましたし でも、２進法は ０と１、 １６進法も ０、１、、、、９、Ａ、Ｂ、、Ｆ と ０（ゼロ）から 始まってるので、今回の問題は違和感があります でも、そんな文句言ってても、出させた問題は解けないと気持ち 悪いので解かざるおえませんよね まず、自分で初めから書いてみます １、２、３、４ １１、１２、１３、１４ ２１、２２、２３、２４ ３１、３２、３３、３４ ４１、４２、４３、４４ １１１、１１２、 と １ケタの数字は ４個、２ケタの数字は ４Ｘ４ ＝ １６個 あり、４ケタは 4^3 ＝ ６４個、５ケタは 4^4 ＝ 256個、 ６ケタは 4^5 ＝ 1024、６ケタは 4096個あることが わかります 「今回の４進法」の １１ は ４＋１ ＝ ５ で５番目 「今回の４進法」の １１１ は １６ ＋ ４ ＋ １ ＝ ２１番目 １１２ は １６ ＋ ４ ＋ ２ ＝ ２２番目 とわかります それと同じように、１２３ は １ × １６ ＋ ２ × ４ ＋ ３ Ｘ １ ＝ ２７ 番目です 2011番目の数は 「今回の４進法」 でいくつかと言うと 2011 ＝ １ Ｘ 1024 ＋ ３ × 256 ＋ ３ × 64 ＋ １ × 16 ＋ ２ × 4 ＋ ３ ですので、答えは 「今回の４進法」で １３３１２３ です。僕は不器用に １、４、１６、６４、２５６、１０２４、４０９６ と計算してから、大きい方から順々に決めて行きましたが、質問文の方法のように下から求めて行く方が楽ですよね。ただ、何度も「今回の４進法」に慣れたら、そうすると思いますが、生まれた初めて「こんな４進法」を見たので、不器用でも間違えない方法で計算しました
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- chie65536（@chie65535）
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＞解答は： 0の代わりに4がある（1,2,3,4をつかう）四進法で考える。 ここの模範解答には、解説されてない重要な事が隠されています。 それは「0の代わりに4がある、の本当の意味」です。 この意味は「１～３は普通の４進法と同じだが、０は使わず、４は４のまま使う」です。 つまり、数が１増えるごとに １ ２ ３ ４←普通の４進法は、ここで「１０」になるが、この問題文では桁上がりしない １１ １２ １３ １４←普通の４進法は、ここで「２０」になるが、この問題文では桁上がりしない ２１ ２２ ２３ ２４←普通の４進法は、ここで「３０」になるが、この問題文では桁上がりしない ３１ ｜ （略） ｜ ３２１ ３２２ ３２３ ３２４←普通の４進法は、ここで「３３０」になるが、この問題文では桁上がりしない ３３１ ３３２ ３３３ ３３４←普通の４進法は、ここで「１０００」になるが、この問題文では桁上がりしない ３４１←普通の４進法は、ここで「１００１」になるが、この問題文では桁上がりしない ３４２ ２４３ ３４４←普通の４進法は、ここで「１０１０」になるが、この問題文では桁上がりしない ４１１←普通の４進法は、ここで「１０１１」になるが、この問題文では桁上がりしない ４１２ （以下略） ＞16×1+4×2+1×3＝27番目 この問題文の「特殊４進法」では「４は４のまま桁上がりせず、４から１つ増える時に桁上がりして、０を飛ばして１になる」のです。 つまり、以下のようになっています。 通常の４進法：「３」が１つ増えると「１０」になり、「１０」が１つ増えると「１１」になる。 特殊な４進法：「３」が１つ増えると「４」になり、「４」が１つ増えると「１１」になる。 なので、３桁の数「１２３」は、通常の４進法と同じく 百の位の数×１６ ＋ 十の位の数×４ ＋ 一の位の数 の式で「何番目」か求まります。 一般化すれば、ｎ桁の数字は １桁目×４の（n-1)乗 ＋ ２桁目×４の（n-2)乗 ＋ ．．．＋ ｎ-1桁目×４の1乗 ＋ n桁目×４の0)乗 の式で「何番目」か求まります。 特殊４進数の「１４」は、 １×４の１乗＋４ です。 この数は、通常４進数では「２０」になる筈で、 ２×４の１乗＋０ です。 １×４の１乗＋４ ←特殊４進数の「１４」の式 ＝１×４＋４ ＝１×４＋１×４ ＝（１＋１）×４ ＝２×４ ＝２×４の１乗 ＝２×４の１乗＋０ ←通常４進数の「２０」の式 のように「同じ値」だと判ります。 ＞2011÷4＝502あまり3 ＞502÷4＝125あまり2 ＞125÷4＝31あまり1 ＞31÷4＝7あまり3 ＞7÷4＝1あまり3 ＞よって、133123です。 ここでは「４は４のまま使い、桁上がりしない」のです。 なので「余りが０になった場合」には「商を１つ減らして（つまり、桁上がりしないで）余りを４にする」と言う事をします。 他の回答で ＞やってみると、4÷4＝1あまり0。10になってしまう。問題に出て来る数字と合わない。 ＞1と0からどうやって4を作るのだろう？ おかしい。 と言う回答がありましたが、何も問題ありません。この「特殊４進数」では 4÷4＝0あまり4 なのです。なので「４は４のまま」になります。 では「１６」をやってみましょう。 １６÷４＝４余り０→余りが０なので商を１つ減らして余りを４に→３余り４ なので、１６番目の数字は「３４」。 同様に「３２」も。 ３２÷４＝８余り０→７余り４ ７÷４＝１余り３ なので、３２番目の数字は「１３４」。 同じように「８４」をやると ８４÷４＝２１余り０→２０余り４ ２０÷４＝５余り０→４余り４ ４÷４＝１余り０→０余り４ （←「４は４のまま」なので、本当は「４÷４」は計算しなくて良い） なので、８４番目の数字は（頭の０は無視して）「４４４」。 検算すると、４×１６＋４×４＋４＝６４＋１６＋４＝８４で、８４番目です。 このように「４の扱いがちょっと特殊なだけ」で、基本的には「４進数」なのです。
お礼
ご回答して頂きありがとうございます。 とてもわかりやすい説明で納得できました！ 本当にありがとうございました。
- shuu_01
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２７番目位なら最初から描いても、良いですよね １、２、３、４ １１、１２、１３、１４ ２１、２２、２３、２４ ３１，３２，３３、３４ ４１、４２、４３、４４ １１１、１１２、１１３、１１４ １２１，１２２、１２３、 ね、２７番目ですよね 最初から実際に書くと、 １桁の数字は４個、２桁は１６個 と実感することが できます
- shuu_01
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あ、また、自分の間違い発見、訂正します いつもいつも、ごめんなさい m(_o_)m と １ケタの数字は ４個、２ケタの数字は ４Ｘ４ ＝ １６個 あり、４ケタは 4^3 ＝ ６４個、５ケタは 4^4 ＝ 256個、 ６ケタは 4^5 ＝ 1024、６ケタは 4096個あることが わかります ↓ と １ケタの数字は ４個、２ケタの数字は ４Ｘ４ ＝ １６個 あり、３ケタは 4^3 ＝ ６４個、４ケタは 4^4 ＝ 256個、 ５ケタは 4^5 ＝ 1024、６ケタは 4096個あることが わかります
非常に悪問だと思います。 >0の代わりに4がある（1,2,3,4をつかう）四進法で考える。 (1)の解答>16×1+4×2+1×3＝27番目 そういう『特殊な』四進法だとしてみます。これが正しいと考えてみると、次の解答はどうなのか。 (2)の解答>2011÷4＝502あまり3、502÷4＝125あまり2、125÷4＝31あまり1、31÷4＝7あまり37÷4＝1あまり3 (2)の解答>よって、133123です。 なるほど、4で割ってあまりを出し、答えがまだ4で割れるなら、また繰り返して、割れなくなったら、答えを最初の数（一番桁が多い数）にして、今までのあまりを逆順に並べればいいんだな。 しかし、そうなのか？ では左から数えて4番目の数『4』もそうやって計算できるのだろうか？ やってみると、4÷4＝1あまり0。10になってしまう。問題に出て来る数字と合わない。1と0からどうやって4を作るのだろう？ おかしい。 これは4で割っているからです。あまりに、絶対4（や4以上）は出てこない。1,2,3,4を組み合わせて数を作っているのに、絶対に4が出てこないやりかたをしている。 もう一度、模範解答を読み直すと「0の代わりに4がある（1,2,3,4をつかう）四進法で考える。」とある。普通の4進数は「0,1,2,3」を使います。これは、0,1,2,3,10,11,12,13,20,21,…と続く数になります。10進数では9から1増えると桁上がりなのと同じように、4進数では3から1増えると桁上がりになるわけです。 0の代りに4を使う4進数なら、数を記号とみて「4,1,2,3」となり、これを「0,1,2,3」に置き換えて計算すればいいです。お示しの文章題では、そうしたりしなかったりしていて、おかしなことになっています。 この問題は解かなくていいです（本格的に正しくやると、非常に難しい）。無理に模範解答通りにやれるように頑張ると、かえって算数ができなくなります。 「文章題に対する模範解答がおかしいので答えられません」というのが、正しい答えです。それ以上は必要ありません。
お礼
本当にありがとうございました。
お礼
ご回答して頂きありがとうございます。 とてもわかりやすい説明で納得できました！ 感謝の気持ちでいっぱいです。 今後ともよろしくお願い致します。