因数分解のコツ

質問

a^2*(b-c)-a(b^2-c^2)+b^2＊c-bc^2 を因数分解せよという問題で、解答は
a^2＊(b-c)-a(b+c)(b-c)+bc(b-c)
(b-c){a^2-a(b+c)+bc}
(b-c)(a-b)(a-c)となってました

一応答えを見てなるほどと思うのですが、
与式を見て「あ、各項にｂ-ｃが隠れてる」というセンス（？）が理解できません。次数の低いｂとｃに注目するということはわかるのですが最後は勘にまかせてしまいます・・
どう考えて方針をたてるのか教えてください

回答No.6

Musicful-hearts · ベストアンサー

因数分解の基本的な手順(特に高１)
(1)共通因数があればくくる
(2)次数のもっとも低い文字について整理する
(3)(2)で注目した文字の係数で因数分解できるところはする
(3)共通因数があればくくる
(4)たすき掛けをつかって因数分解

ではa^2(b-c)-a(b^2-c^2)+b^2c-bc^2について
(1)共通因数なし
(2)すでに整理されている
(3)aの係数b^2-c^2=(b+c)(b-c)、定数項b^2c-bc^2=bc(b-c)
よってa^2(b-c)-a(b-c)(b+c)+bc(b-c)
(4)共通因数(b-c)でくくると(b-c){a^2-a(b+c)+bc}
(5)たすき掛けをつかって因数分解(b-c)(a-b)(a-c)

例題を書いておきます。
x^2-2y^2+xy+yz-zxを因数分解せよ(サクシードIより)
解)
(1)共通因数なし
(2)次数のもっとも低いzについて整理すると
-z(x-y)+x^2+xy-2y^2
(3)定数項を因数(x-y)(x+2y)
(4)共通因数(x-y)でくくり(x-y)(-z+x+2y)
(5)なし

展開をしなければいけない問題ははじめから整理することを意識して展開するといいでしょう。

例)
a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)を因数分解せよ(サクシードＩより)
解)
aについて整理すると考え、展開をすると
a^2(b-c)+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2
(1)共通因数なし
(2)aについて整理して
a^2(b-c)-a(b^2-c^2)+b^2c-bc^2
(3)係数を因数分解
aの係数＝(b+c)(b-c)
定数項＝bc(b-c)
(4)共通因数b-cでくくる
(b-c){a^2-a(b+c)+bc}
(5)たすき掛けで因数分解
(b-c)(a-c)(a-b)

どうでしょう。少しは力になれましたか？

お礼

詳しい説明ありがとうございました
大変参考になりました

回答No.7

FUURINKAASAN

参考に
「因数定理」でgoogle検索
http://www.google.com/search?hl=ja&q=%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

一番目のＵＲＬ

因数定理
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/insteiri/insteiri.htm

回答No.5

noname#26313

因数の定理を使うと、隠れた因数が分かります。
今の場合だと、b に c を代入すれば、与えられた式が 0 になるのが分かります。これは、b-c で割り切れる証拠です。

お礼

なるほど
これは簡単に見分けれるし便利ですね

回答No.4

noname#40706

次数の低い文字に注目、をご存じならばなんとかいけますよ。

次は因数分解とは何かを考えてください。それは数や数式を因数に分解してその積で表すということです。（当たり前か！？）これを別のことばで言い換えると、

早い話が（　　）（　　）でくくれたら、まとめられたらいいということです。

目標（　　）（　　）の作成！ということです

そこで・・・・

a^2*(b-c)-a(b^2-c^2)+b^2＊c-bc^2

で、（　）のないところに注目してそこの部分を（　　）でくくれないかを考えます。このときは　

お尻の部分がb^2＊cとbc^2に共通な文字群つまりｂｃでくくれることに気がつきます。

（　　）でくくるということは共通な文字をみつけてそれでまとめるということです。

したがって　b^2＊c-bc^2

＝ｂｃ（ｂ－ｃ）

がわかります。

こうして全体を見渡すと（ｂ－ｃ）がみえてきます。

ｂ＾２－ｃ＾２＝（ｂ＋ｃ）（ｂ－ｃ）には気がついて欲しいのですが、もしも気がつかなくても上の変形の段階で（ｂ－ｃ）が２カ所も出てきていますので、（ｂ－ｃ）でくくれないかなあ・・・→ｂ＾２－ｃ＾２＝（ｂ＋ｃ）（ｂ－ｃ）！を思い出すことができるでしょう。

勿論これまでの方の回答のように、数をこなして、パターン・変形の要領を覚えることが大切ですね。

次数の少ないものでまとめたら、残り物は大体２次以下に収まります。いざとなったら解の公式で力任せでがんばることも必要かも。

ｘ＾２＋ｘｙ＋ｙ＾２　のように、ｘとｙが対等（？）に表れているもの（ｘとｙを入れ替えても式が変わらないもの）は

ｘ＋ｙ＝ａ、　ｘｙ＝ｂと置くのが有力である

など、いろんなテクニックがありますね。

ぼちぼち覚えてください。

自分でテクニックを見つけるのはむずかしいですよ。こんなやりかた自分では思いつかない！頭悪いなあとくれぐれも落ち込まないようにしてください。テクニックを沢山知っている人でもほとんどは、教えてもらって学習してます。自分で独力で発見できるのは一生に一度あればいいほうですよ。そういう私も自信をもって自分の発見やといえるものありません。

ちなみに　この式をａについての２次式とみなして、解の公式で強引に求めてみてください。√の中を計算して√がうまくほどけて、ａ＝○±△が求まったら

（ａ－○－△）（ａ－○＋△）

という因数分解できた式にたどりつけますよ。

これはさっぱりスマートではないですので、最後の手段です。

お礼

＞こんなやりかた自分では思いつかない！頭悪いなあとくれぐれも落ち込まないようにしてください

まさにこれでした。数をこなしてなんとか自分のものにします
ありがとうございました

回答No.3

kishiura

全部の項にｂとｃが出てきてますから、むむ？と思うはずです。

お礼

そのような直感はやはり経験のなせる技なのですね

回答No.2

quaqua

こんにちは。
(b^2-c^2)という部分を見て、(b-c)(b+c)という分解ができるので、これを利用して何かできないかと考えることが必要だと思います。
問題集に載っているような、必ず答えが用意されている問題では、このようなちょっとしたヒントを探すのがいいと思います。
それでわからなかった時は、試行錯誤です。

と、言いましたが、練習が足りないだけだと思いますよ。経験をつめばできるようになります。がんばってください。

お礼

はい。ありがとうございます

回答No.1

Little Ram（@LittleRamb）

んー、それは公式をどれだけ使いこなせるかで、身に付くのではないかな？

因数分解だから、展開の逆ですから、どうやったまとまるのか？
まとめられるものを公式を駆使してまとめていくと、見えてくるんじゃないかなぁと。

受験数学には、解答パターンがあるので、それを押さえるのも方法かもね。ま、問題の数をこなすしかないでしょう。

腕のいい金型職人さんだって、何年も経験して微妙なコツがわかってくるものですから。そういうものは、機械にはマネできない感覚です。
受験数学もそれに似ているんじゃないかな？（と私は考える 笑）

お礼

あ５りがとうございました