全微分

質問

はじめまして。意味不明な質問だと思われますがお願いします。

曲面Z=f(x,y)は、点(a,b)の近くでは平面で全微分可能であるとき
f(a+h,b+k)=fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)+ε1となる。
この式の意味がよく分からないのですが
右辺の接平面の方程式がでてくることがよくわかりません。
どなたか、よろしくお願いします

回答No.6

torahuzuku

今日は。No4さんのご指摘のように式は、
　f(a+h,b+k)=f(a,b)+fx(a,b)h+fy(a,b)k+ε1　ではないでしょうか？
ここで、後の説明を分かり易くするために、a=x, b=y, h=Δx, k=Δy　と置くと、式は
　Δz=Δf(x,y)=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy+ε1
と変形でき、Δx,Δy→0 のとき、ε1 の項は乗余項でΔx,Δyより速く0になります。
∴Δz≒fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy　となり、
∴dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy　の全微分の式が出てきます。

右辺の接平面の方程式が出てくることの意味はNo3さんのご指摘通りですが、次のように考えるとどうでしょうか？
曲面z=f(x,y)上の点P(x,y,z)における接平面は、
　Z-z=fx(X-x)+fy(Y-y) ……と表わせますので、この式を(A)とします。次に、
曲面z=f(x,y)上の点Q(x+Δx,y+Δy,z+Δz)を通ってz軸に平行な直線が
接平面(A)と交わる点をR、Pを通ってxy平面に平行な平面と交わる点をMとすると、Rの座標(x+Δx,y+Δy,z+MR)は(A)を満足するので、これを(A)に代入すると、
　z+MR-z=fx(x,y)(x+Δx-x)+fy(x,y)(y+Δy-y)
=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy
∴MR=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy=dz　…全微分の式
以上図を書き表せないので分かりづらいかと思いますが、関数z=f(x,y)の全微分dzの幾何学的意味になるかと思いますが…。

回答No.5

chiezo2005

#1です。

大学の理系の方ではないので突然全微分を習われたのかもしれませんね。
2変数だとわかりにくいのですが，1変数の場合の
f(a+h)=f(a,b)+fx(a,b)h+ε1
でしたら，曲線fと点（a,b)で接する接線の方程式は
y=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)
なのは高校でもならうので理解できると思います。
ε1は(x-a)の2次以上の誤差をあらわします。つまり接線と曲線との
距離に相当します。

これの2変数版だと考えればわかりやすいと思いますがいかがでしょうか？

回答No.4

N64

f(a+h,b+k)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)+ε1
ではなくて、
f(a+h,b+k)=f(a,b)+fx(a,b)h+fy(a,b)k+ε1
ではないでしょうか？
ε1は、hやkの二乗のオーダーの誤差ということだと思います。
違ってたらごめんなさい。

回答No.3

endlessriver

＞なぜz=f(a+h,b+k)からf(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)を引けば
＞出るのでしょうか？？
それは、（ほとんど）全微分の定義だからです。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node83.html#SECTION00740000000000000000
ですから、質問者の疑問は話が逆であるといえます。

＞この式の意味がよく分からないのですが
１変数の微分と接線の関係のようにf(x,y)と接平面の関係を意味しています。(a,b)(a+h,b)(a,b+k)の３点を含む平面をh,k→0としたときのイメージです。

回答No.2

endlessriver

全微分可能とは(a,b)の近傍では接平面上の挙動に近似できる。すなわち、接平面が存在することを意味しているからです。

お礼

返信ありがとうございます。
すみません、式の訂正をさせてください。
f(a+h,b+k)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)+ε1
でした。。
曲面f(a+h,b+k)の場所のからf(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)を引けば
その差のε1が出るとあらわしているとと思うのですが、
なぜz=f(a+h,b+k)からf(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)を引けば
出るのでしょうか？？

自分の頭が理解してくれなくてすみません。
くどいようですが、お願いします。

回答No.1

chiezo2005

単なる2変数の場合のテーラー展開の一項目だと思いますが・・・

失礼ですが，学年，学科などを教えていただけると，それなりに
説明がしやすいのですが・・・

お礼

すみません。
高専４年生で物質工学科という場所に所属しております・・・。