接平面を求める際の全微分可能の定義
曲面z=f(x,y)は、曲面上の点A(x1, y1,z1)において偏微分可能とすると、点Aを通り方向ベクトルd1=(1,0, f_x(x1,y1)), ベクトルd2=(0,1,f_y(x1, y1))をもつ平面αの式はα: z-z1=f_x(x1,y1)*(x-x1)+f_y(x1,y1)*(y-y1)と表す事ができる。
※このf_x(x1,y1), f_y(x1,y1) は点Aにおける偏微分係数の事です。
すみませんグラフを載せる事ができないので分かりにくいと思いますが、xy平面上の点Bo:(x1+Δx, y1+Δy, 0), 点Bの真上、点Aと同じ高さにある点B:(x1+Δx, y1+Δy, z1), 点Bの真上、平面α上にある点C:(x1+Δx, y1+Δy, z2), そして点Cの真上、曲面z=f(x,y)上にある点D(x1+Δx, y1+Δy, z3)をそれぞれとります。
ここでz1=f(x1, y1)
z2= z1+f_x(x1,y1)*(x1+Δx-x1)+f_y(x1,y1)*(y1+Δy-y1)=z1+f_x(x1+y1)*Δx+f_y(x1,y1)*Δy
z3=f(x1+Δx, y1+Δy)
BD=z3-z1=Δz, CD=ε(x1, y1)とおくと、BD=BC+CD=(z2-z1)-z1=f_x(x1,y1)*Δx+f_y(x1, y1)*Δy+ε(x1, y1)となる。
ここでε(x1, y1)は点Boにおいて曲面z=f(x,y)を平面αで近似するときに生じる誤差のことである。ここで(Δx, Δy)→(0,0)としたときに ε(x1,y1)/√(Δx)^2+(Δy)^2→0となれば、全微分可能だといえる。
質問ですが、まず『ε(x1,y1)は、点Bo(x1+Δx, y1+Δy)において曲面z=f(x,y)を平面αで近似するときに生じる誤差』とありますが、点Boで近似するとはどういう事ですか??
また、誤差ε(x1, y1)のx1, y1はどこからきたのでしょうか?点Aの座標ですか?
次に、『ε(x1, y1)/√(Δx)^2+(Δy)^2→0ならば全微分可能』というところで、これを言い換えると√(Δx)^2+(Δy)^2すなわちABより先にε(x1,y1)が0に近づけばよいとあります。これはもし先に誤差ε(x1,y1)がだんだん小さくなると、曲線ADが三角形ABCの辺AC(これは平面α上にある)に近づくということでしょうか?
では仮にABがε(x1,y1)より先に0に近づく場合、ABがほぼ0になった時点でε(x1,y1)はまだほぼ0になっていないので、自分の推測ですが結局平面αが少し上に剥がれたような形になり、曲面z=f(x,y)は、点Aで平面αに近づくとは言えないので、全微分可能ではないという事でしょうか?
