接平面の方程式について。

質問

ある参考書によると、接平面の方程式は
z - f(a,b) = fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b)　…(1)
とあり、与えられている方程式が
z = ...
となっていることを期待していると思います。
また、別の参考書によると、
fx(a-x) + fy(b-y) + fz(z-c) = 0　　…(2)
とあり、これは必ずしも
z =
の形の式が与えられなくても、解ける式で、紹介しているのだと思います。
自分は(1)式（簡単な方）を先に覚えて、使っていたのですが、(2)式の方が、色々な場合に使えると思い、(2)式で問題を解こうと思うのですが、どうも自分の中で(1)式と(2)式がつながりません。

(1)から、(2)を導けないでしょうか？または、簡単に式を導き出せるようなイメージはないでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

「陰関数定理」って知ってますか？
f(x,y,z)=0 が「ある条件」の下で
z=g(x,y)とかけることを保証する定理です．

このとき，微分係数も綺麗に書けます，
f(x,y,g(x,y))=0だから
xで微分すれば
0=fx dx/dx + fy dy/dx + fz dz/dx
= fx + fz gx
gx = -fx/fz
同様に
gy=-fy/fz

だから，c=g(a,b)として
z-c=gx(a,b)(x-a)+gy(y-b)
z-c=-fx/fz (x-a) - fy/fz (y-b)
fz(z-c)=-fx (x-a) - fy(y-b)
fx (x-a) + fy(y-b) + fz(z-c)=0

けどね・・・
接平面の式は(2)の方がどうやってでてくるか，
ベクトル(fx,fy,fz)が
何を意味してるのかを理解しないとだめだよ．

回答No.1

endlessriver

曲面の式をg(x,y,z)=0と、これをzについて解いたz=f(x,y)とで考えると混乱しないと思います。
するとg(x,y,f(x,y))=0ですからこの式を微分して
gx+gzfx=0,gy+gzfy=0これをz-c=fx(x-a)+fy(y-b)に代入すれば（正しい）(2)が得られます。

イメージ？一致するか不明ですがz=f,g=0を全微分してdzなどをz-cとおけばどうでしょう。