≪問題≫未知数x，y，zについての連立方程式

質問

≪問題≫未知数x，y，zについての連立方程式
x+2y+z=1
2x+y+2z=a
ax+bx+z=c
が解を2組以上持つとき，aの値を求め，さらにcをbを用いて表せ。

自分でも考えてみたのですが、さっぱりわかりません＾＾；
判別式など使いそうなきがします。。。

どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

3番目の式は間違いではないですか？
>ax+bx+z=c
ax+by+z=c の間違いでは？

そうであるとして、連立方程式を強引に解けば
x=(1/3)(ab-2a-2b+3c+1)/(a-1)
y=(2-a)/3
z=(1/3)(2a^2-ab-a+2b-3c)/(a-1)
となります。

a≠1であれば　(x,y,z)が1組だけ存在するので不適。
なので　a=1…(A)でなければならない。

a=1のとき元の方程式は
x+2y+z=1
2x+y+2z=1
x+by+z=c
これを解くと,上の2つの式から
x+z=1/3,y=1/3 …(B)
3番目の式に代入してcについて解くと
c=(b+1)/3　…(C)
この関係が成り立たないと(x,y,z)の解が1組みも存在しなくなるので
c=(b+1)/3
でなければならない。
このとき(B)が成立すれば、3番目の式は常に成立するので1次独立な式ではなくなる。
(B)を満たす(x,y,z)の組は無数に存在する（未知数3個で方程式２つでいわゆる不定形）。還元すれば元の方程式は（B)と等価で1次独立な方程式が2つだけなので、zを任意に与えれば、xは「x=(1/3)-z」,y=1/3なるので
(x,y,z)の組が2組以上存在するという条件を満たしています。

答えは、(A),(C)であることはいうまでも無いですね。

お礼

ありがとうございました!!!

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

普通、未知数 3つに対して条件式が 3つあれば、未知数は決まる＝解は 1組になる。となりますね。
ところが、いまの問題は 2組以上あると言われています。

ということは、1組になれないような状況を作り出すことになります。
つまり、「実質的に」
・満たす式は、1つしかない ⇒ 解は、その式で表される平面上の点
・満たす式は、2つしかない ⇒ 解は、2式で表される 2平面の交線

という状況を考えることになります。
#1さんの解答はこのことを式にされています。
「実質的に」というところを「定数倍して辺々加えたら・・・」ということで表しています。

意外と奥深い問題だと思います。

お礼

ありがとうございますｗｗｗ

回答No.1

banakona

解を2組以上持つってことは第１の式に第２の式のｓ倍を足したときに第３の式のｔ倍になるということ（いずれも左辺の話。未知数のおき方は他にも色々ある）。

そこでｘ、ｙ、ｚについて係数の式を立てると
　１＋２ｓ＝ａｔ　・・・Ａ
　２＋　ｓ＝ｂｔ　・・・Ｂ
　１＋２ｓ＝　ｔ　・・・Ｃ

Ｃよりｓ＝（ｔ－１）／２
Ａに代入して　１＋（ｔ－１）＝ａｔ
　　　　　　　　　ｔ＝ａｔ　　∴ａ＝１

行列式を使う手もあります。　あとは頑張って。

お礼

ありがとうございました＾＾ｗ