ケプラーの法則

質問

一般に万有引力を受けた物体の運動は、円を含む楕円、放物線、双曲線のいずれかの軌道を描く。そのいずれかの軌道になるかは、その物体の持つ力学的エネルギーEの正負によって決まる。
E < 0　なら楕円
E = 0　なら放物線
E > 0　なら双曲線
とあるのですが、なぜE<0で楕円、E=0で放物線、E>0で双曲線になるのでしょうか？教えてください。

回答No.1

guuman · ベストアンサー

軌道がどのようになるかは
ニュートンの運動法則とニュートンの万有引力の法則
で簡単に導かれます
具体的には
質量mの物体1と質量Mの物体2だけが宇宙空間に有るとき
物体1のある慣性系原点からの位置ベクトルをrとし
物体2のその慣性系原点からの位置ベクトルをRとすると
m・r"=-G・m・M・(r-R)/|r-R|^3
M・R"=-G・m・M・(R-r)/|R-r|^3
の方程式に従います
これにより
(r-R)"=-G・(M+m)・(r-R)/|r-R|^3
となります
ただしGは万有引力定数です
x=r-R,k=G・(M+m)とおくと
x"=-k・x/|x|^3
です
これを解けば物体1の軌道は2物体の位置を原点にして楕円軌道、放物線軌道、双曲線軌道のいづれかになることが分かります
物体1がそれぞれの軌道を描くときの力学的エネルギーを計算すれば分かります
直感的には無限遠点の位置エネルギーを0とした場合
E<0の場合無限遠点に到達できないのですから楕円軌道になり
E≧0の場合無限遠点に到達するのだから放物線軌道、双曲線軌道になるのです