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万有引力の位置エネルギー
こんばんは。万有引力の位置エネルギーについて質問します。 万有引力は２つの物体の距離の２乗に反比例するとのことですが、 Ｆ＝ＧＭｍ／ｒ^2 万有引力の位置エネルギー Ｕ＝－ＧＭｍ／ｒ はなぜ（距離の２乗に反比例ではなく）距離に反比例なのでしょうか？ 素朴な疑問です。理解できるかどうかわかりませんが、ともかく質問します。よろしくお願いします。
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再び登場。 まず、誤記訂正させてください。 Ｕを求める式の途中、 Ｕ ＝ ∫Ｆｄｒ ＝ ∫（－ＧＭｍ）／ｒ^2・ｄｔ ＝ ＧＭｍ∫ｒ^(-2) ｄｔ ではなく、 Ｕ ＝ ∫Ｆｄｒ ＝ ∫ＧＭｍ／ｒ^2・ｄｔ ＝ ＧＭｍ∫ｒ^(-2) ｄｔ でした。 ＞＞＞ 数学によれば、微分は関数の増減や接線を求めるもの、積分は関数と軸とに囲まれた部分の面積や、軸に対する体積を求めるための方法だというイメージがあるますが、この場合の微分・積分と重力や位置エネルギーの関係はどうつながるのでしょうか？ 重力であれ、電磁気力であれ、斜面をころがるか滑る物体であれ、 ある地点と、その近傍の地点とでポテンシャル（位置エネルギーなど）に差がなければ、力は発生していません。 ポテンシャルに差があるから力が発生します。 これは、地図の等高線を例にして考えるとわかりやすいです。 等高線がない（あるいは非常にすくない）場所は平地であり、その場所にボールを置いても転がりません。 等高線があれば、たとえば、高さ１００メートルと高さ２００メートルとの間は、等高線に直角な方向にボールがころがります。 この「高さ」がポテンシャルに相当します。 等高線の間隔が狭ければ急な坂、広ければなだらかな坂、ものすごく広いかまたは等高線がない場合は平坦です。 微分というのは変化率を求めるものですので、ある地点とその近傍の地点との高さの差、すなわち、地点間を結ぶ道のりの間にまたぐ等高線の本数が、地点同士の坂の急峻度を表します。 単位道のりあたりの等高線の間隔が狭ければ、それは高さの変化率が大、広ければ小です。 ご質問のケースですと、 位置エネルギーは Ｕ＝－ＧＭｍ／ｒ 「地点ｒの近傍」をｒ＋Δｔと表すことにします。 位置がｒがｒ＋Δに変化するとき、位置エネルギーは、 Ｕ＝－ＧＭｍ／ｒ から Ｕ＝－ＧＭｍ／（ｒ＋Δ） に変化します。 力すなわち、Δｒだけずれた地点の位置エネルギーの差ΔＵは、 ΔＵ ＝ －ＧＭｍ／（ｒ＋Δｒ） － （－ＧＭｍ／ｒ） ＝ －ＧＭｍ｛１／（ｒ＋Δｒ） － １／ｒ）｝ （分母と分子にｒ（ｒ＋Δｒ）をかけて） ＝ －ＧＭｍ｛ｒ－（ｒ＋Δｒ）｝／ｒ（ｒ＋Δｒ） ＝ ＧＭｍ（－Δｒ）／ｒ（ｒ＋Δｒ） ＝ －ＧＭｍΔｒ／｛ｒ（ｒ＋Δｒ）｝ ここで、Δｒを限りなくゼロに近づける（Δｒ→０）と、 ｒ＋Δｒ は、ほぼｒなので、 （Δｒをｄｒ、ΔＵをｄＵに書き換えて） ｄＵ ＝ －ＧＭｍ・ｄｒ／ｒ^2 ・・・（あ） ｄＵ／ｄｒ ＝ －ＧＭｍ／ｒ^2 （＝ Ｆ） です。 ここまでやった計算は、微分にほかなりません。 ポテンシャルＵを微分すれば、力になります。 積分は微分の逆ですので、（掛け算の逆が割り算であるのとおなじことです。） 力を積分すればポテンシャルになります。 上記の（あ）の式の左辺と右辺の頭にそれぞれ「∫」をつけるだけで、積分の式になります。
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- richardo
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大きな距離と小さな距離との場合を混同していませんか。 生活圏内ならば位置エネルギーは高さに比例しますね。 地上でゼロです。高さによらず引力は同じと考えます。 しかし月ぐらいの距離になったら、引力は距離の２乗に反比例します。距離を測るのは、地球の中心からです。 それらを整理すれば見えてくるのでは無いでしょうか。
お礼
回答ありがとうございます。 本の記載によると、万有引力の位置エネルギー Ｕ＝－ＧＭｍ／ｒ は、地球の引力から脱出するための計算に使っていました。 ex： １／２ｍｖ^2－ＧｍＭ／ｒ＝一定
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
位置エネルギー（ポテンシャル）をｒで微分したのが重力（重力場）です。 Ｆ ＝ Ｕ’＝ （－ＧＭｍ／ｒ）’ ＝ －ＧＭｍ・（ｒ^(-1) ）’ ＝ －ＧＭｍ・（－１・ｒ^(-2) ） ＝ ＧＭｍ／ｒ^2 逆をやってみましょうか。 重力（場）を積分したものが位置エネルギー（ポテンシャル）です。 Ｕ ＝ ∫Ｆｄｒ ＝ ∫（－ＧＭｍ）／ｒ^2・ｄｔ ＝ ＧＭｍ∫ｒ^(-2) ｄｔ ＝ ＧＭｍ・（－ｒ^(-1) ） ＋ 積分定数 ＝ －ＧＭｍ／ｒ ＋ 積分定数 積分定数をゼロにするのが合理的なので、 Ｕ ＝ －ＧＭｍ／ｒ これは、無限遠点（ｒ→∞）におけるポテンシャルがゼロという基準になります。
お礼
回答ありがとうございます。 数学によれば、微分は関数の増減や接線を求めるもの、積分は関数と軸とに囲まれた部分の面積や、軸に対する体積を求めるための方法だというイメージがあるますが、この場合の微分・積分と重力や位置エネルギーの関係はどうつながるのでしょうか？
- Denkigishi
- ベストアンサー率47% (269/562)
>重力による位置エネルギーと万有引力による位置エネルギーは何か関連がありませんか 関連どころか同じものです。
お礼
回答ありがとうございます。 本で探していたら、地上の赤道上でも重力と万有引力はほぼ等しく（自転による遠心力の大きさは万有引力の１／３００とのこと）、 ｍｇ＝ＧｍＭ／Ｒ^2 ｇ＝ＧＭ／Ｒ^2 とありました。 ご指摘ありがとうございます。
＞基準が無限遠とのことですが 位置エネルギー＝０です。（基準点） ここを基準に取れば、 ｍｇｈの位置エネルギーを持つ物質の逆の運動を行います。
お礼
回答ありがとうございます。 無限遠が０（基準）として、いま、「（地表上でなら）－∞＋R：[地球の半径]→０（基準）に向かって運動する」ということでよいのでしょうか？
ここの第二宇宙速度の所で計算してあるよ。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%80%9F%E5%BA%A6
お礼
回答ありがとうございます。 R ところで、Ｕ＝－∫（－ＧＭｍ／ｒ^2）dr＝－GMｍ／R ∞ とは、なにを計算しているのでしょうか？（積分記号ということはわかりますが・・・） そして、なぜマイナスなのでしょうか？
位置エネルギー＝ｍｇｈ
お礼
回答ありがとうございます。 私の知っている限りでは、位置エネルギーは (1)ｍｇｈ （重力による位置エネルギー） (2)１／２ｋｘ^2 （ｋ：ばね定数 ｘ：縮んだ距離） (3)－ＧＭｍ／ｒ （万有引力の位置エネルギー） とのことですが、重力による位置エネルギーと万有引力による位置エネルギーは何か関連がありませんか？私の単なる思い過ごしでしょうか？
補足
回答ありがとうございます。 ところで、万有引力の位置エネルギーは基準が無限遠とのことですが、どのように考えれば位置エネルギーはマイナスになるということになるのでしょうか？
- Denkigishi
- ベストアンサー率47% (269/562)
次元的には、力を距離で積分したものがエネルギーです。そのとき次元がどうなるかを考えてください。
お礼
回答ありがとうございます。 Ｎｏ．１さんの回答のごとく、力×距離＝仕事（Ｊ）ということなのでしょうか？
仕事Wは W=Fx エネルギー＝力×距離 の関係だから。 引力(F)×距離(r)で、 ふつうに分母のrが1個とれると解釈できそうな・・
お礼
回答ありがとうございます。 ＞W=Fx エネルギー＝力×距離 ということは Ｆ×ｒ＝｜ＧＭｍ／ｒ^2 × ｒ｜ ということですね。（ちなみに、基準は無限遠だそうです）
お礼
回答ありがとうございます。 ＞ポテンシャルに差があるから力が発生します。 ＞単位道のりあたりの等高線の間隔が狭ければ、それは高さの変化率が大、広ければ小です。 ＞ポテンシャルＵを微分すれば、力になります。 参考にいたします。回答に感謝します。