ニュートン力学 仮定？法則？

質問

高校で物理を勉強し始めてからずっと疑問を持っていてなかなか納得することができないことがあります：
ニュートン力学において、物体の質量mは力Fが既知の場合はma=Fを利用することによって分かりますが、そもそもFはなぜ分かるのですか？
Fとしてもっとも代表的なのは万有引力だと思いますが、なぜ、万有引力は質量に比例することがわかるのですか？
ma=Fによれば、Fを知るためには物体の加速度と質量を知らなければいけないと思います。加速度は実験により知ることができるので、Fが何か与えられていれば、物体の質量を知ることができて、実験によって万有引力の法則がなりたつことが確かめられます。
万有引力が質量に比例するというのは、ニュートン力学における仮定なのですか？それとも、ma=Fが仮定なのですか？どちらかを仮定しなければ、ニュートン力学は実験によって検証できないと思うのですが。
そもそも、仮定したものを法則と呼ぶのもおかしいので、どこかまずい考え方をしていると思っています。
ご指摘をお願いします。

回答No.6

gooknight

大学で物理学（力学）を学んだものとして幾つか講義します。

重力を利用した質量を重力質量と言います。つまり、体重計で図るのが重力質
量 M です。

一方、物体に一定の力Ｆを加え続けることが可能だとしましょう。加速度aは実
験で知ることが出来て、m=F/a として求めたものを慣性質量と言います。

そして、重力質量＝慣性質量とするものを「弱い等価原理」と呼びます。

一方、あなたの質問は、重力質量と慣性質量は何故同じなのですか？仮定ですか？と
いう質問だと言えるでしょう。（注１）

ご質問が非常にするどい点は、「原理」という実験で証明するしかない部分に
踏み込んでいるからです。（原理というのは、不思議なんだけど、実際そうみ
たいだから、成り立つとして、それを土台に話を進めましょう、というもので
す。）そして高校物理では仮定に見えてもおかしくないです。

現在も実験は続いており、

およそ、1/1,000,000,000,000 の精度で等価原理が確かめられている
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E4%BE%A1%E5%8E%9F%E7%90%86

のだそうです。

注１:みなさん、整理してください。

- フックの法則:物体がバネから受ける力 F=k x
- 万有引力の法則：物体が地球から受ける力 F= M g
- 運動方程式：物体が受ける力と加速度の関係式 F= m a
- 弱等価原理： m=M

＞なぜ、万有引力は質量に比例することがわかるのですか？

については、万有引力の法則が答えを出している、つまらない質問です。

（バネで図って伸び x=1 となる物体は同じ M ですね。それを二つくっつけた
時、バネ二つで図れば、ちょうど同じ伸びx=1です。つまり、2M の時に、引力
がバネ二つ分、つまり二倍になります。）

＞どちらかを仮定しなければ、ニュートン力学は実験によって検証できないと思うのですが。

についての質問が、するどい。これが等価原理に触れている質問です。「そも
そも質量ってなんだろう」という素朴かつ根源に迫った大質問なんですよ！

偉そうに高説ぶったかもしれませんが、するどさに大感銘を受けての、この大
長文です。（大学ではぜひ物理に行ってください。）

回答No.5

ichiro-hot

●＃４で、
１）『力』は既知で、『加速度』を測定できるようになって運動の第２法則が導かれ、それから重さとは違う『質量』という概念が必要になったこと。そうすると
２）普段使っている『重さ』を力として使うと比例定数が必要になって不便なので、もう一度工夫して、運動を扱うために都合の良い力の大きさを定義しなおした。そのときこの第2法則を元に、『質量』と『加速度』から『力』を定義し直した。
・・・以上の経過を述べました。
　力が身近に感じられないのは、物理学での力は運動を扱うために都合の良いN（ニュートン）という普段あまり使わない単位で用いられるから、ということではないですか？むしろこんがらがりやすいのは『質量』という概念です。（この考察は一般相対性理論につながります。簡単に当たり前と考えてはいけませんね。）

●ニュートンの『運動の法則』は仮説か？
Ｎ１．慣性の法則（ガリレオが提唱）
Ｎ２．Ｆ＝ma（実はホイヘンスによるところが大きい。）
N３．作用反作用の法則（静力学の近接作用の立場から古くから知られていた。）
　加速度を詳しく取り上げて研究したのは、振り子時計の研究をしていたホイヘンスです。ホイヘンスは周期運動を研究し、そのために円運動に必要な向心加速度を正しく求めていたのですが、彼は技術者肌であり、今風に言うと『特許』をとることには熱心でしたが、それを理論としてまとめ発表することにはあまり興味が無かったといえばわかるでしょうか。そのため加速度の発見についてはあまり取り上げられません。
（以上の歴史的な根拠は『マッハ力学－力学の批判的発展史』（E．Mach著，伏見譲訳：講談社），『物理学史I』（広重徹著：培風館）等ほかを参考にしています。）

　以上のように、確かめていくとニュートンが独自に発見したものは実際には有りませんね。しかもどれも『事実』として体験的に確かめることのできる事柄なのです。地上で確かめることのできる『事実』＝『経験法則』であり、『仮説』ではないのですね。

　では、『仮説』というのはどういう意味で『仮説』なのか・・・・
　この地上で確かめることのできる３法則が、『地上にとどまらず宇宙のどこにおいても成り立っている』と考えてみる。ここが『仮説』なのです。宇宙のどこに行っても・・・これは不可能ですから、実際に確かめることはできず、思考の上で行ってみるしかないので、『仮説』ということになります。
　３つの法則を『原理』＝最も重要なものとして取り上げ（不要なものは何一つ取り入れず）、それが『宇宙のどこでも成り立っている原理である』こと、地上で確かめることのできる法則が宇宙に通じる法則であることをはっきりと認識したところがニュートンのすごいところです。

●ケプラーの法則
　これを空想で『・・・では無いかと思う』で済ますと、それは科学とはいえなくなります。具体的にそれを示さなければならなくなりますが、幸いに宇宙の運動を正確に観測し、記録し、その要点を纏め上げていてくれた人がいました。ティコ・ブラーエが生涯をかけて行った観測結果と，それを引継ぎ，惑星の運動の特徴を見事に取り出して纏め上げていたケプラーによる仕事が有ったのです。
＜ケプラーの法則＞
K１．面積速度一定の法則：惑星の軌道運動では、太陽を中心とする動径が単位時間に描く面積速度は常に一定である。
K２．惑星の軌道は太陽を１つの焦点とする楕円軌道を描く。
K３．惑星の軌道半径の３乗は、その惑星の公転周期の２乗に比例する。
●N１～N３を前提として、K１～K３のような運動が有るとすれば、『惑星の間にも質量に比例し、距離の２乗に反比例する力』＝万有引力が働いていなければならないことが当然の結論として得られます。
　惑星同士の間に万有引力が働いていて、地上における運動の法則と同じ法則N１～N3が成り立つとすると、ティコ・ブラーエ，ケプラーによって観測された惑星の運動K１～K３が完全に説明できる。だからN1～N3は地上のみでなく、宇宙において成り立っている法則だというのです。
　N1～N3が地上の法則にとどまらず、惑星の世界でもちゃんと成り立っていなければならないということの証明に成功したのですね。
●キャベンディッシュでしたか、ねじれ秤を使った実験から万有引力はかなりの精度で実験でも確かめることができます。これも惑星の世界でしか確かめることのできない法則ではなく、『地上の法則』になってしまいました。これも仮説では有りません。
　以上、ニュートンの運動の法則は、それ自体としてはすべて経験＝実験で確かめることのできる法則です。無論、実験によるものであり誤差を伴うものですが、”ひょっとしたら完全に違っているかもしれない”というような、いいかげんな仮説とかではなく、かなりの精度を満たして成立しているものです。

●最後に、『仮説』として残っているのは？・・・地上の経験法則である『運動の法則』が、地上にとどまらず『宇宙のどこでも成り立っている法則である』というところになりますね。

●物理学で扱う領域は、人間の体験の広がりから、それは巨大宇宙の全体への認識という方向と、もう１つ原子・原子核・素粒子・・・という極微の世界への認識という方向という２つの方向に向かって、格段の進歩を遂げましたね。そこではニュートン力学は近似的に正しい理論という位置づけになってきます。
　ちょうど気体を扱うときに、気体が液体になってしまうような低温やプラズマになってしまうような高温でない限り『理想気体』として扱ってかまわないのと似ています。極低温や超高温では別な取り扱い、新たな理論が必要とされることも有るのでしょう。それと同じように、原子ぐらいから普段見ている星空の世界ぐらいの領域であればニュートン力学は非常に良くできた理論であるということです。

●Ｎ１～Ｎ３とＫ１～Ｋ３を用いると、万有引力の式が自然に求められる。・・・本当はそれをちゃんと示そうと思ったのですが、やはり文章のみになってしまいました。
　よく力学の教科書などではＦ＝maとF=G・M1・M2/ｒ＾2から楕円軌道を導くことをしています。（F＝maを微分方程式として捉え、それを数学的に微分方程式を解くという物理学の方法の習得にはちょうど良いからだろうと思います。）
　しかしそれはニュートンが発見をおこなった思考過程をたどることとは違います。微妙な違いといってしまえばそれまでなのですが、運動の法則とケプラーの3法則から万有引力の式を導くというという思考過程をたどる必要が有ります。
　ところがそれをちゃんと行っている例があまりありません。（天文学の分野を調べればそのような例が見つかるでしょう。ものすごく古い本で、図書館とかでなければ見ることができないかもしれませんが荒木俊馬ほか著『現代天文学辞典』（恒星社）のなかでそのような説明を見たことがあります。）
　これを理解するためには極座標での微分と楕円の表示が必要です。物理IIの周期運動のところで、天体の運動があり、その導入部分を勉強することになると思うので、そこまで疑問を暖めるというのも大切なことかもしれません。
　高校3年生になって、受験が重くのしかかってくる時期・・・『１ｋｇ』の定義から始まって、重力加速度から地球の質量がわかり、地球の太陽周りの公転運動から太陽の質量がわかり、さらに他の木星や土星の質量がわかる、太陽系の全体像が浮かんでくる・・・という計算は非常に圧巻です。本当の物理学の楽しさを味わうことのできる１場面なのですけれど。
　受験の出題範囲から除外されると、実際にそれをやってみる元気も湧かないというのが実情でしょうね。そういうことに興味を持つことが本当は大切なのに、それをしてちゃ受験で大学に合格しない。変な世界です。

回答No.4

ichiro-hot

●　何度も答えようとしたが長文になって、幾度もやめてしまった。でもやはり・・・
>>ニュートン力学において、物体の質量mは力Fが既知の場合はma=Fを利用することによって分かりますが、そもそもFはなぜ分かるのですか？

●運動の第2法則
『物体が力を受けると、その力の働く方向に加速度が生じる。加速度の向きは力の方向に一致し、加速度の大きさは力の大きさに比例し、質量に反比例する。』
　これは後で整理された表現で，プリンキピアの中の文章は、「運動の変化は、加えた動力に比例し、力が加えられた方向に起こる」というような文章らしく、『運動の変化』とか、『動力』とか何か良くわからない内容になっている。むしろこれを正しく『加速度』として捉えたのはこれを読んだホイヘンスだったという話が有るくらいだ。（ホイヘンスは振り子時計の発明者！重ね合わせの原理で有名。）

●　ガリレオが動力学を始めたといってよいが、そのころまでに力については正しく理解されていた。（今も使う１ｋｇＷなどの『重さ』は重力という概念としてちゃんと理解されていた。）特に静力学はかなり完成していて、『てこの原理』や『仕事』、『斜面の原理』などが正しく用いられていた。だから、力については既知のものだったというのが正しい。

●ニュートンの進んでいる点は『加速度』という量を『力』と結びつけたことだ。ガリレオの時代には短い時間を測定する技術が未発達で、そのためガリレオは距離と時間の関係から速度の変化を調べるしかなかった。そのためガリレオは『力が働くと速度が変化する』ことしか見つけられなかった。しかも斜面を使って速度を落とした実験から時間を計れるようにして、落下距離S∝時間ｔ＾２からV∝ｔを導くという回りくどいことをしている。（この根拠は『新科学対話』の内容から。）『刻々と変化する速度』を量る技術が無く、加速度という量を見つけてはいたが、それを測定する技術が無く、加速度と力とのかかわりを見つけることができなかった。（今みたいに記録タイマーとかは無かったのだ。）
　ガリレオの死んだ次の年ぐらいにニュートンが生まれているが、その頃にホイヘンスによる『振り子時計』のように『時間の測定技術の進歩』が有っている。そのためニュートンは加速度の概念を用いることができたのだろうと思う。加速度の重要性の発見の背景に、『短い時間の測定技術の進歩』がかかわっているというのはa=Δｖ/Δｔという微分とのかかわりがあって面白い。・・・こういう事情を書いていると膨大な内容になるので少しはしょらせてもらおう。ニュートンの時代には加速度が測定可能になっていたということだ。

●　ようするに、ニュートンはＦ＝ｍａをいきなり言ったのではない。運動の第２法則は『物体に生じる加速度は力に比例し、質量に反比例する』；a=k（F/ｍ）なのだ。
　だからむしろわからない量は『比例定数ｋ』と『質量ｍ』のほうだ。
　例えば同じ場所で１ｋｇWの重さの物体１と、２ｋｇWの物体２が有るとする。同じ場所なのだから、その重力加速度は同じだ。（落下実験を行ってみればよい。）物体１についてa＝ｋ（１ｋｇW/ｍ１），物体2についてもa＝ｋ（２ｋｇW/ｍ２）だから，ｋ（１ｋｇW/ｍ１）＝ｋ（２ｋｇW/ｍ２）となって、
　ｍ２/ｍ１＝２ｋｇW/１ｋｇW＝2倍
ということがわかる。物体に働く『重力』（これは力！）を比較すれば、質量が何倍かはわかる。
　ところがこの『何倍』という量は基準になるものがあって初めて意味がある。そのためには何か１つ基準になるものをとってｍ１として基準にすればよい。
　歴史的にはずいぶん遅れて、１ｋｇのもとになるものが作られた。キログラム原器だ。キログラム原器に等しい質量を１ｋｇと名づければ、その2倍は２ｋｇという名前になる。そのようにして質量の定義が定められている。（最初は１ポンドとかだったろう。）
　このように定めると比例定数ｋが決まってくる。ｋ・F＝ｍaで、地表付近では　a＝ｇ＝９．８ｍ/s^2　なのだから、　ｋ×１ｋｇW＝１ｋｇ・９．８ｍ/s^2　から　ｋ＝９．８ｋｇ・ｍ/ｋｇW・s^2　という値になる。

●　実際には「面倒な単位」や「1」でない値を避けて、比例定数ｋ＝１となるように力を定義し直した。『１ｋｇの物体に作用して１ｍ/s^2の加速度を生じる力を１N』と定義し直し、　１N＝１×１ｋｇ×１ｍ/ｓ＾２＝１ｍ/ｓ＾２　と約束することにした。
　そうすると　１ｋｇW＝１ｋｇ・９．８ｍ/s^2＝９．８N　という力の新しい単位で重力が表すことができるようになる。このような単位を用いて初めてｋ＝１となり、運動の方程式もF＝maとかけるようになる。
　実際には、運動の第２法則で、意味がわかりにくいのは実は『質量』であるということだ。
　運動の第2法則、力と加速度の比例関係、これは高校でも実験で確かめることであり，経験で確かめることのできる『法則』といえる。そして『質量の定義には何らかの外的な基準になるものが必要』ということだ。だから地球のサイズを基準に１ｍという長さの基準；メートル原器を定め、その長さを基準にして１辺１０ｃｍの立方体をつくり、その体積の水（４℃）を取りその質量を１ｋｇと定めたという歴史的な経過がある。そして１ｋｇWという『重さ』と１ｋｇという『質量』の区別ということもあわせて正確に理解してもらいたい。

　以上がまず第１の点だ。・・・長くなるのでここでいったん終わろう。

回答No.3

sanori

こんばんは。

たとえば、２ｋｇ、５ｋｇ、１０ｋｇ　の鉄球がそれぞれ何個かずつ持って、ビルの屋上に行ったとしましょう。

・１０ｋｇの鉄球１個
・５ｋｇの鉄球２個を非常に軽い糸で結んだ「鉄亜鈴」
・２ｋｇの鉄球５個を非常に軽い糸で結んだ「鉄亜鈴」

これら３つの「物体」は、全部１０ｋｇです。
ですから、これら３つを落としたときに、地面までの落下時間は同じであると考えるのが自然です。
（実際、そうなるわけです。）

では、
・糸を外した５ｋｇの鉄球２個
・糸を外した２ｋｇの鉄球５個
これらを落とすとどうなるでしょうか？
はたして、糸を取り去っただけで、落下時間は変わるのでしょうか？

・・・変わらないと考えるのが自然です。

ということは、質量がどうであっても重力加速度は同じだと言えるわけです。
（そうでなければ、５ｋｇ×２の「鉄亜鈴」と５ｋｇの球とで、落ちる速さが変わってしまいます。）

このことが、（地上での）重力加速度は一定、加速度が一定のもとで、Ｆとｍが比例するという考えに帰結したのでしょう。
私ができるぐらいの思考実験ですから、ニュートンの考えの中にも当然入っていたことと思います。

一方で、
落下速度が時間に比例することも、比較的簡単な実験でわかります。
これが加速度の概念ですね。

＞＞＞どちらかを仮定しなければ、ニュートン力学は実験によって検証できないと思うのですが。

事実からの帰納で法則ができる場合もあり、演繹（仮定）をもとに実験をして得られた結果により法則となる場合とがあるでしょうね。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

補足

ご回答ありがとうございます。
>重力加速度は一定、加速度が一定のもとで、Ｆとｍが比例するという考えに帰結
に至る過程が自然なことがわかりました。

回答No.2

noname#99303

科学では仮説が減少を十分に説明しうる時、当該仮説を真とみなして法則と呼びます。Newton力学で説明できない現象が見つかったとき、量子力学を導入することによってミクロの世界(制限があります)の動きが説明できるようになり、真とみなされるようになりました。1920年代のことです。話はだいぶ異なるが相対性理論も Newton力学で説明できない現象を説明するためにアインシュタインが導入し、実測によって宇宙や高速現象に対する説明性が確認されたので真とみなされています。
　ニュートン力学において、ma=Fは多彩な使い方がありますが、まずはaを求める手段と考えてよいでしょう。m、Fは既知でなければならないのは当然です。よってm、Fの測定法が確立されている必要があります。mは天秤ばかりで量ります。方法は突き詰めればkg原器との比較です。Fはばねばかりで量ります。

補足

ご回答ありがとうございます。
>mは天秤ばかりで量ります
天秤ばかりを使えば、質量の大小関係がわかります。
>Fはばねばかりで量ります
ばねの伸びとばねにかかる力の関係が分からないと、|F|の大小関係しか分からないと思うのですがどうなのですか。

回答No.1

noname#160321

>仮定したものを法則と呼ぶのもおかしい
おかしくないのです。
観測事実は「真実」ではないのです。「真実」は分からないのです。
科学はあくまでも経験則なので、それが数学と整合性があっても(数式で精密に予測できても)、どこまでも「経験則」なのです。
だからこそ、ニュートン力学の先にアインシュタインの特殊ならびに一般相対論があるのです。これもまた「寿命」のある経験則に過ぎません。

補足

ご回答ありがとうございます。
「法則」は実験によって得られた規則の事だけだと思っていたので、おかしいと思ってしまいました。
>観測事実は「真実」ではないのです。「真実」は分からないのです。
観測によって「誤差を許した真実」は分かると思うのですが、どうなのですか。
だから、相対論があっても、光が関わらない日常的スケールの力学ではニュートン力学が生き残ると思います。