放物線と双曲線の力学上の違いは何ですか

質問

重い天体(例えば太陽)の引力を受けて運動する他の天体(惑星など)の軌道のことですが、楕円は太陽の周りをまわる、つまり戻ってくるのだから太陽の引力から脱出できない場合の軌道の形なのだろうと、感覚的に思う(まちがっているのかもしれませんが)のですが、これに対して放物線も双曲線も無限に遠く？から来て、また無限に遠く？へ去っていくというイメージを持っています。この３種類の二次曲線の、数学的な定義(２点からの距離の和云々などの)は理解できるのですが、力学的？に放物線と双曲線とがどのような違いがあるのか、どうもわかりません。違いをイメージできるように説明していただけるとありがたいのですが。

回答No.2

tadys · ベストアンサー

楕円や放物線や双曲線は総称して円錐曲線と呼ばれています。
これは円錐を平面で切ったときの切り口が上記の曲線になることからきています。（参考URL）

楕円軌道の場合、有限時間の間に元に戻ってきます。
放物線軌道の場合は、無限の時間をかけて無限遠に行った後に
無限の時間をかけて元に戻ってきます。
楕円軌道の長軸の長さを無限大にした極限と考えればいいでしょう。
双曲線軌道の場合は、無限の時間が経過しても元に戻りません。

もし、無限に広いグラフ用紙があってこの上に楕円、放物線、双曲線が書いてあるとします。
この上に立って無限の遠方まで眺めることが出来るとします。
楕円が閉じた曲線に見えるのは当然です。
放物線は無限遠まで伸びた楕円のように見えます。これは平行線が無限遠で交わるのと同じです。
双曲線の場合は交わりません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E9%8C%90%E6%9B%B2%E7%B7%9A

お礼

回答、ありがとうございました。わたしは理解が遅いと感じているので、回答文をひとつずつ噛み締めて、頭の中で整理して考えました。
　文中の「放物線軌道の場合は無限の時間をかけて・・、元に戻ってきます」のところでは、それなら「戻ってこないのと同じではないかなぁ」と思ったのですが、「楕円軌道の長軸の長さを無限大にした極限・・」の表現で飲み込めました。それから、「無限に広いグラフ用紙・・、無限の遠方を眺める・・」はとてもよくイメージができました。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　私なりに次のように捉えました。正円から楕円に変化させて、どんどん伸ばして(？)いくと、一瞬(この表現で適当かどうか)だけ放物線になり、それを通り越して双曲線になる。つまり、放物線はその意味では特別な曲線！なんだなと思いましたが。このような理解でよいでしょうか。参考ＵＲＬも助かりました。返信、遅くなりすみません、ありがとうございました。

補足

すみません、先にお礼のところに少し書いてしまったのですが、これら３種類の曲線については、そのような理解のしかたでよいでしょうか。

回答No.1

N64

多分ですが、放物線の方は、たまたま宇宙空間を飛んでいたら、太陽の引力に引かれて方向を変えたけれど、幸い太陽を振り切ってＵターンして、もう太陽の方には戻ってこない、ということでしょう。

お礼

回答、ありがとうございます。私もそんなイメージをもっているのですが、双曲線も同じ様なイメージです。で、放物線と双曲線とは、(数学上の定義の部分ではなく)どんな点がちがうのかを教えていただきたいのですが・・。