この積分がわかりません

質問

ある問題をやっているときに以下の積分がでてきました。いろいろ考えたのですができなかったので、力を貸してください。できるだけはやめがいいです。

du/dx={-x/(a-x)} + {x^2/(a-x)} + {1/(a-x)}

です。a　は定数扱いで、ｘについて積分をお願いいたします。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

分子、分母ともxの整式である関数は必ず積分できます。

やり方としては与式をとことん部分分数にし
A: 1/(x-a)
B: (2x+a)/(x^2+ax+b)
C: 1/(x^2+ax+b)
のいずれかの形に帰着するまで分解します。

この問題ではすでにある程度部分分数に分解されていますから、あとはA～Bのいずれかの形に帰着させるのみです。ただしこの問題では幸いなことに分母が2次式である項が存在しませんから、多少厄介なBを使わずに積分することができます。

では実際に解いてみます。まず最初の項
-x/(a-x)
ですが、
(a-x)/(a-x) - a/(a-x)
=1+(a/(x-a))　　　(1)
と変形できます。1の積分はx+C(積分定数)、(a/(x-a))の積分はa ln |x-a|+C(積分定数)です。ご承知かと思いますがlnは自然対数eを底とする対数関数です。
従ってこの部分の積分は
x + a ln |x-a|+C　　　(2)
です。積分定数はまとめて一つにしました。

次のx^2/(a-x)ですが、これも同様に分子を(a-x)で割り進めます。
x^2/(a-x)
=(x^2-ax)/(a-x) + (ax-a^2)/(a-x) + a^2/(a-x)
= -x -a -a^2/(x-a)
これを積分すれば
-(x^2)/2 -ax -a^2 ln |x-a|+C　　　(3)
を得ます。

最後の1/(a-x)はもう出来ているも同然で、
- ln |x-a|+C　　　(4)
になります。
答えは(2)～(4)を足したものであることは申し上げるまでもなく、
x +a ln |x-a| -(x^2)/2 -ax -a^2 ln |x-a| -ln |x-a| + C
= -(x^2)/2 +(1-a)x + (-a^2 +a-1) ln |x-a| +C　　　(5)
となります。

なお与式の分子を最初にいったん全部足し合わせ
(-x^2+x-1)/(x-a)　　　(6)
としてから出発してもよく、分子を分母で順次除していくと
(-x^2 +ax +(1-a)x-(1-a)a -a^2+a-1)/(x-a)
= -x +(1-a) -(a^2-a+1)/(x-a)　　　(7)
ですから、積分すれば(5)になることは一目瞭然です。

*計算ミスがあるかも知れませんので、ご自身でもチェックしながら読んで頂ければ幸いです。

お礼

早い回答と、非常にわかりやすい回答をどうもありがとうございました
とてもすっきりしました。これからまたわからないところが出てくると思いますが
これからもよろしくお願いいたします。

回答No.2

stomachman

t = x-a
と変数変換してしまえば簡単。dt/dx = 1 なので、
du/dx = (du/dt)(dt/dx) = du/dt
より
du/dt= (t+a)/t -((t+a)^2)/t -1/t
= -t+(1-2a)+(-a^2 +a -1)(1/t)
そして
∫(-t)dt = -∫t dt= -(t^2)/2 +積分定数
∫(1-2a)dt =(1-2a)∫dt = (1-2a)t +積分定数
∫(-a^2 +a -1)(1/t)dt =(-a^2 +a -1)∫(1/t)dt =(-a^2 +a -1)ln |t|+積分定数
だから積分定数をまとめてCと書けば
u = -(t^2)/2+(1-2a)t+(-a^2 +a -1)ln |t|+C
ってこってす。で
t = x-a
を代入してやれば
u = -((x-a)^2)/2+(1-2a)(x-a)+(-a^2 +a -1)ln |x-a|+C

Umadaさんの解と合わないって？そんなこた～ない。
第一項と第二項を展開してみましょう。
u = -((x-a)^2)/2+(1-2a)(x-a)+(-a^2 +a -1)ln |x-a|+C
= (-(x^2)/2+ax-(a^2)/2)+((1-2a)x-a+2(a^2))+(-a^2 +a -1)ln |x-a|+C
= -(x^2)/2+(1-a)x+(-a^2 +a -1)ln |x-a|+((3/2)(a^2)-a+C)
ですから、積分定数を
D = (3/2)(a^2)-a+C
と書き換えれば、
u =-(x^2)/2+(1-a)x+(-a^2 +a -1)ln |x-a|+D
Umadaさんの結果(5)と一致しています。どっちが正解ってことはない。

お礼

Umadaさんとは違うやりかた、非常にタメになりました。
わかりやすく、早い回答感謝です。
これからもよろしくお願いいたします！