a>0としても一般性を失わないのでa>0とします。
分母の定義域はa^2-x^2>0より -a<x<a
I=∫x^2/(a^2-x^2)^(1/2) dx
=∫(a^2-(a^2-x^2))/(a^2-x^2)^(1/2) dx
=∫(a^2/(a^2-x^2)^(1/2) dx-∫(a^2-x^2)/(a^2-x^2)^(1/2) dx
=(a^2)∫ 1/(a^2-x^2)^(1/2) dx-∫(a^2-x^2)^(1/2) dx
=I1+I2 ...(1) とおく。
ここで
I1=(a^2)∫ 1/(a^2-x^2)^(1/2) dx
x=asin(t)(-π/2<t<π/2)で置換積分
dx=acos(t)dt,(a^2-x^2)^(1/2)=acos(t)
I1=(a^2)∫ 1 dt=(a^2)t+c1=asin^-1(x) +c1 (c1は積分定数) ...(2)
I2=-∫(a^2-x^2)^(1/2) dx
部分積分して
=-x(a^2-x^2)^(1/2)+∫x(-x)/(a^2-x^2)^(1/2) dx
=-x(a^2-x^2)^(1/2)-I ...(3)
(2),(3)を(1)に代入して
I=I1+I2=asin^-1(x) +c1 -x(a^2-x^2)^(1/2)-I
右辺のIを左辺に移項して
2I=asin^-1(x) -x(a^2-x^2)^(1/2) +2c （積分定数を置きなおす）
I=(1/2)asin^-1(x) -(1/2)x(a^2-x^2)^(1/2) + c (cは積分定数)
お礼
丁寧に回答して頂いてありがとうございました。 類似した問題も自分で解けるようになりそうです！