積分

質問

∫x^(a-1)/(x^2+1)dx [0...∞]　(0<a<2)

の積分を計算しろという問題なんですが、
留数を使って解くのは分かってるんですが、どうもうまくいきません。
解き方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat

＞留数を使って解くのは分かってるんですが、
まあ、その通り留数を使って解けばいいです。

x軸＋半径無限大の半円弧ていうよくある積分路を考えればいいですね。
x=iでの留数を考えればいいです。
でも、a<1だと、x=0にも極ができるんで、そこを微妙によけるよう小さな半円弧をつくります。にしないとだめです。この場合、微妙によけた
円弧の線積分は０にならない可能性があるので、ちょっと真面目に計算する必要があります。

お礼

回答ありがとうございます