異なる８個の実数解

質問

X^2(x-4)^2-2[x(x-4)]+k=0が異なる８個の実数解をもつためのkの範囲を求めよ。　[　]は絶対値です。

グラフを描いたら（自信なし）0<k<8のように思えたのですが、自信がありません。特に+kのグラフをY=kとするのかY=-kにするのかとか…。根本的に間違っているかも知れません。どなたか教えていただけませんか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

次のようにして解いてはいかがでしょうか。

１）　ｔ＝x(x-4)　とおく
２）　ｔ≧０　と　ｔ＜０　の２つに場合分けする。
３）　ｔ≧０　のとき　ｘとｔがそれぞれ２実解を持つ条件（ｋの範囲）を求める。
４）　ｔ＜０　のときも同様に、ｘとｔがそれぞれ２実解を持つ条件（ｋの範囲）を求める。
５）　３）項と４）項から得られたｋの範囲の共通範囲を求める。

　以上の手順で求めると　０＜ｋ＜１　という範囲が得られます。

　ちなみに、f(x)=x^2(x-4)^2 -[x(x-4)]　（[　]は絶対値）を図示しますと、添付図のようになります。
　異なる８実解を持つｋの範囲は　０＜ｋ＜１　で良いことが確かめられます。

お礼

早速の回答ありがとうございました。
グラフまで示して頂いて大変よくわかりました！

回答No.2

mister_moonlight

形を見ると、すぐ置き換えに気が付く。

｜x*（x-4）｜＝t　‥‥(1)とすると、条件式は　t＾2-2t＋k＝0　‥‥(2)　からtの2次方程式。
従って、8個の異なる実数解を持つさためには(1)が異なる4個の実数解をもち、(2)が異なる2個の実数解を持つと良い。
そのためには、(1)は　0＜t＜4.
k＝-t＾2＋2t＝-（t-1）＾2＋1.
y＝kとy＝-（t-1）＾2＋1が　0＜t＜4で異なる2つの交点を持つと良いから、0＜k＜1。

計算に自信なし、チェックしてみて。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
よく分かりました！