絶対値記号の考え方

質問

定数aは実数であるとする。関数y = |x^2-2|とy = |2x^2+ax-1|のグラフの共有点はいくつあるか、aの値によって分類せよ。
という問題で

|xa+b| + |cx+d| = |e-fx| のようなときは場合わけが必要なのに

|x^2-2| = |2x^2+ax-1| を
(x^2-2) = ±(2x^2+ax-1) のようにして、なぜ絶対値記号をはずすときに場合わけしないのかわかりません。

どなたか教えてください

回答No.2

kabaokaba

>なぜ絶対値記号をはずすときに場合わけしないのかわかりません。

それなら場合わけして解答すればいいんです．
なぜしないとか考えるよりも
実際に場合わけしてみたらどうですか？

もっとも・・・簡単に場合わけできますか？
左辺は (√2)，-(√2) でできるけど
右辺はどうです？解の公式使うしかないでしょう？
仮に使った場合，左辺の中身の正負，
右辺の中身の正負で四通りのパターンになるうえに
左辺の(√2)，-(√2)と右辺の解の公式による値との大小関係も問題なるし，
出てきた「共有点のx座標」と場合わけの範囲との関係も考慮しなければなりません．

こういうことは実際に計算できないと納得できないでしょうから
実際に場合わけしてやってみるしかないです．

ちなみに
>|xa+b| + |cx+d| = |e-fx| のようなときは場合わけが必要なのに

こういう場合だって，場合わけしないで解こうと思えばとけるのです．
＃私が解くなら，グラフかいてやるけど

==================
一般に絶対値については
|x|=|y|だったら，x=±y であることは理解してますか？
ほかにも，ほとんど同じですけど
|x|=|y| だったら x^2=y^2
絶対値を外すときは，±をつけるよりも，
二乗してしまう方が（本質的には同じだけど）経験上簡単な気がします．

お礼

回答ありがとうございます

>こういうことは実際に計算できないと納得できないでしょうから
>実際に場合わけしてやってみるしかないです．
この問題の解答には必ず場合わけが必要ということですか？

>一般に絶対値については
>|x|=|y|だったら，x=±y であることは理解してますか？
これはわかりますが方程式のときはその解が正しいかどうかはどのようにして判断しているのかが気になります。場合わけしなくても解けるのであればどのように考えているのか教えてください。

回答No.1

spring135

＞|x^2-2| = |2x^2+ax-1| を
(x^2-2) = ±(2x^2+ax-1) のようにして、なぜ絶対値記号をはずすときに場合わけしないのかわかりません。

場合分けして整理するとこうなるというだけで、絶対値記号を外すには場合分けが必要ということは変わりません。

x^2-2>0, 2x^2+ax-1>0
または
x^2-2<0, 2x^2+ax-1<0
のとき
(x^2-2)=(2x^2+ax-1) (1)

x^2-2>0, 2x^2+ax-1<0
または
x^2-2<0, 2x^2+ax-1>0
のとき
(x^2-2)=-(2x^2+ax-1)　　(2)

(1)、(2)をまとめて書くと

(x^2-2) = ±(2x^2+ax-1)　　(3)

と書けるというだけのことで、

+をとるか-をとるかの判断は結局

絶対値の場合分けのときの考え方と同じです。

お礼

回答あありがとうございます。ですが・・・やっぱりわかりません＞＜

[場合わけをしたとき]
1.変形した方程式を解く
2.出てきた解がその範囲内にあるか確認する

このようになると思います。ただし、今回の問題では判別式で共通解の個数を求めているだけで、範囲内にあるか否かは確認されていません。

ここが腑に落ちないのです。これはどのようになっているのでしょうか。