2次関数の最大値・場合わけの仕方

質問

2次関数の最大値を求める問題です。

1.y=(x-a)^2+2(0≦x≦2)

次のような場合分けの仕方で合っているのでしょうか？

a＞0の時、x=0の時最大となり、a^2+2

a≦0の時、x=2の時最大となり、a^2-4a+6

数学アレルギーです。もしかしたら、数学のできる皆さんからするとトンチンカンな解答かもしれません。
お手数ですが、その時はなぜおかしいのか説明いただけないでしょうか？
宜しくお願い致します。

回答No.2

ccyuki · ベストアンサー

y=(x-a)^2+2　ですから頂点(a,2)で下に凸の放物線です。
頂点がわからないので場合分けをします。
また下に凸なので頂点は最大値にはならず、最大値になる可能性のあるのは
　x=0　のときと　　x=2　の時です。
(1)　a<1　のとき　x=2のとき最大で最大値は　a^2-4a+6
(2) a=1 のとき　x=0,2　のとき最大で最大値は　4
(3)　a>1　のとき　X=0　のとき最大で最大値は　a^2+2

グラフを描いて考えるとわかりやすいと思います。

お礼

ご回等有難う御座います。同じ様な問題を解いていってがんばりたいと思います。

回答No.3

Quattro99

#1です。
場合分けについてa^2+2とa^2-4a+6の大きい方が最大値になるのでどちらが大きくなるかで分けると書きましたが、この問題の場合は2次関数のグラフなので、x=aを軸として対称なグラフということになり、aが0と2のちょうど中間である1を境にどちらが最大値になるのかが変わるということがわかるので、引き算をして計算する必要は必ずしも必要ではありません。

お礼

有難う御座います。大変よく分りました。中間である1を境に考えるとよく分りました。

回答No.1

Quattro99

下に凸のグラフになりますから、最大値はどちらかの端（あるいは両方が同値）になることはわかると思います。
なので、a^2+2かa^2-4a+6のどちらか、あるいは両方が最大値です。
どちらが最大値になるのかは、引き算をして、
(a^2+2)-(a^2-4a+6)=4a-4が正か負か（0の時、両端が最大値）によることになります。つまり、場合分けはaが1より大きいか小さいかということになります。