数学の二次関数の質問です。

質問

二次関数 y=x^2-2ax+2a^2 (aは実数の定数）について、0≦x≦１における最大値を求めよ。

この最大値をaを用いてあらわすのですが、
最大値を表すときには、定義域の真ん中を軸に考えると解釈していいのでしょうか？
この場合は、０≦x≦１の間で1/2というふうになります。
ですが、なぜ定義域の真ん中で場合分けをしていくのでしょうか。

また、解答には、a≦1/2のとき、最大値：２a^2-2a+1
a≧1/2 のとき最大値：２a^2
となっているのですが、
０と１が最大値になるということはないのでしょうか。

解答お願いします。

回答No.9

ShowMeHow · ベストアンサー

問題は、ｘの値を求めよではなくｙの最大値を求めるため
aが1/2のときは、y(0)もy(1)も同じ値で最大値となるため
a≦1/2　a>1/2 と分けても、
a<1/2 a≧1/2と分けても
答えは同じものになります。

回答No.10

shuu_01

＞　ですが、最大値が１と０の両方になる、
＞　つまりa=1/2の範囲が書かれていないのは、
＞　範囲の不等号がa≦1/2,a≧1/2
＞　となっているからでしょうか。
＞　もし、a>1/2,　a<1/2　と場合分けした場合には、
＞　a=1/2という範囲も考えなければいけないのでしょうか。

場合分けは少ない方が見やすいし、楽だから

a ＜ 1/2 の場合、a ＝ 1/2 の場合、1/2 ＜ a の場合
って３つに分けるより、

a ≦ 1/2 の場合、1/2 ≦ a の場合と２つに分ける方が
見やすいです

というか 1/2 はどっちでも成り立つからどっちの不等号にも
＝ 入れてるけど、、、、

a ＜ 1/2 の場合、1/2 ≦ a の場合 というふうに片方だけで
良さそうな気がする

回答No.8

KEIS050162

未知の常数を使った、最大最小問題の初歩の問題（登竜門と言っても良いかも知れません）ですね。

二次関数は軸を中心に左右対称になるので、定義域のどの辺に軸が来るかで、最大値がどこになる（大抵は定義域の両端のどちらか）が決まります。

まずは、簡単なグラフを描いてみて、ｘ＝ａ　（これが軸ですね）が左右に移動すると、最大値がどうなるかを実感してみてください。

＞最大値を表すときには、定義域の真ん中を軸に考えると解釈していいのでしょうか？
真ん中ならば、定義域の両端は同じ値になりますので、真ん中を基準に、ａの値が定義域の真ん中より右方向、左方向に移動した場合を考えます。

＞０と１が最大値になるということはないのでしょうか。
０とか１とかは、ｘの定義域なので、ａの値、即ち軸が真ん中より左側ならば定義域の右端（即ちｘ＝１）の時のｙの値が最大値となります。
逆に、ａの値、即ち軸が真ん中より右側ならば、定義域の左端（即ちｘ＝０）の時のｙの値が最大値になります。

ａ＝１／２の時は、左右対称なので　ｘ＝０，１の値はどちらも同じになるので、どちらかに入れておけば良いので、本来、ａ＜1/2　とａ≧1/2　とかで領域が重ならない様に分けるのが正しいかと思います。

より理解するために、同じ前提で最小値を求めてみてください。少し難易度が上がりますが、更に理解が深まります。
（ａの領域の分け方が、ａがｘの定義域の左の外側、右の外側、定義域内の３つに分けることになります。）

ご参考に。

補足

皆様解答ありがとうございます。
この場をお借りして補足させていただきます。

1/2で場合分けをすることは理解できました。

ですが、最大値が１と０の両方になる、つまりa=1/2の範囲が書かれていないのは、範囲の不等号がa≦1/2,a≧1/2

となっているからでしょうか。

もし、a>1/2,　a<1/2　と場合分けした場合には、
a=1/2という範囲も考えなければいけないのでしょうか。

解答どうぞよろしくお願いします。

回答No.7

shuu_01

あ、No.2 でなくて、No.5 でした

回答No.6

shuu_01

No.2 です

前半の質問については　とりあえず、No.2 を理解してください

＞　０と１が最大値になるということはないのでしょうか。

x が 0 あるいは 1 の時、y が最大値になります

回答No.5

shuu_01

y ＝ x^2ー2ax＋2a^2
　＝ （x ー a）^2＋a^2

定義域　０≦x≦１　でなければ、
x ＝ a　の時、最小値 a^2、
グラフの中心が　x ＝ a　となるグラフです

a ≦ 0 の場合は グラフの中心は ０≦x≦１より
　左にあり、最大値は x ＝ 1 の時で y ＝ 2a^2 ー 2a ＋1

0 ≦ a ≦ 1 の場合、グラフの中心は ０≦x≦１の範囲にあり、
　a ≦ 1/2 の場合　最大値は x ＝ 1 の時　y ＝ 2a^2 ー 2a ＋1
　1/2 ≦ a の場合　最大値は x ＝ 0 の時　y ＝ 2a^2

1 ≦ a の場合は グラフの中心は ０≦x≦１より
　右にあり、最大値は x ＝ 0 の時　y ＝ 2a^2

です

最大値に関しては、上のように細かく分ける必要がなく、

　a ≦ 1/2 の場合　最大値は x ＝ 1 の時　y ＝ 2a^2 ー 2a ＋1
　1/2 ≦ a の場合　最大値は x ＝ 0 の時　y ＝ 2a^2

回答No.4

spring135

変域に制限がなければ頂点(a,a^2)が最小値になることはわかりますか。

通常この手の問題は頂点を絡めて最小値を求める問題が多いのですが

この問題は最大値を求めるものです。頂点は関与しません。

a=1/4の場合のグラフを書いてください。最大値はx=1で発生していることがわかりますか。

次にa=2の場合のグラフを書いて考えてください。最大値はx=0で発生していることがわかりますか。

要するに頂点から最も遠い点が最大値を与えます。

従って頂点のx座標　x=aで場合分けすることになります。

いずれにしろ最大値は定義域の端部(x=0 またはx=1)で発生し、最小値は2a^2(x=0)または2a^2-2a+1であることが理解できればこの問題の答えがわかります。

お礼

詳しく解答ありがとうございました！
助かりました。

回答No.3

ShowMeHow

y(x) = x^2-2ax+2a^2

凹な二次関数なんで、最大値はどちらかの端になるから、両端を見てみると
y(0)= 2a^2
y(1)= 1-2a+2a^2

両側が同じときを境目に、どちらかが大きくなるので、
y(0)=y(1)
⇒1-2a=0
⇒a=1/2 がでてくる。
なので、a=1/2　のときは両端で同じ最大値になるのであとは
a>1/2
a<1/2
それぞれのとき、どちら側（　y(0)側かy(1)側が　）最大になっているのかを判定するだけ。

回答No.2

yyssaa

なぜ定義域の真ん中で場合分けをしていくのでしょうか。
＞y=x^2-2ax+2a^2=(x-a)^2+a^2だから、このグラフは
x=aを対称軸とする二次曲線です。すなわち、直線x=aの両側で
同じ形をしています。従って、aが0より1に近ければ0≦x≦1の
範囲ではx=0のときにyは最大となり、逆にaが1よりも0に近ければ
x=1でyは最大になります。だから、0と1の中間値1/2との大小で
場合分けするのです。
aが1/2のときはx=0のときとx=1のときでyの値は同じになります。
ともに0≦x≦1の範囲でのyの最大値です。

また、解答には、a≦1/2のとき、最大値：２a^2-2a+1
a≧1/2 のとき最大値：２a^2
となっているのですが、
０と１が最大値になるということはないのでしょうか。
＞この問題で求めている最大値はyの最大値です。
a≦1/2のときのyの最大値はx=1とおいて
y=x^2-2ax+2a^2=1^2-2a*1+2a^2=2a^2-2a+1です。
a≧1/2 のとき最大値はx=0とおいて
y=0^2-2a*0+2a^2=2a^2です。

お礼

詳しく解答ありがとうございました！
助かりました。

回答No.1

Tacosan

前半はグラフを描けば分かる.

「０と１が最大値になるということはないのでしょうか」で何を質問しているのかはわからんが.