定数係数以外の２階常微分方程式の解

質問

次の問題の解法が分かりません。

次の常微分方程式の一般解を求めよ。
（１）y''+4x*y'+(4x^2-2)y=0
（２）x^2*y''-2y=x

定数係数であれば解けるのですが、このようにｘを含む係数の場合どうすればいいのですか？

調べたら級数展開法というものが出てきたのですが途中の計算がよくわかりませんでした。

級数展開法ではない方法で解けるのですか？

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

＞もしよろしければこの問題についてで結構ですので再考していただけないでしょうか？

とにかく、なんとかして、特解を見つけることです。
(1) y''+4x*y'+(4x^2-2)y=0
パッと見ると、y'' 、 4x*y' 、 (4x^2-2)y てことなんで、
一回微分すると、xの一次式が出てくる感じがします。というわけで、
y = exp(ax^2+bx+c)
なんかが解の候補になりそうです。これを代入して計算すると、…（☆）
y = exp(-x^2-2x)
が一つの解ってことがわかります。
で、特解u(x)が一つ見つかった後は、y = u(x)*z(x) と置きます。（＃１はちょっと誤植がありました。）
この場合だと、
u(x) = exp(-x^2-2x) として、
y = u(x) * z(x)
と変数変換すると、
u(x)*z''(x) + { 2u'(x) + p(x)*u(x) }*z'(x) = 0
というz'(x)に関する １次微分方程式になります。
で、z'(x) の一般解を求めて、一回積分して z(x)を求めて、
y = u(x) * z(x)
で、元の微分方程式の一般解が求まります。

ただ、実際には（☆）の段階で、
独立な解が２つ求まるので、それの線形結合という形で簡単に一般解が求まります。
y = C1*exp(-x^2-2x) + C2*exp(-x^2+2x)

(2) x^2*y''-2y=x
とりあえず、まず、右辺０（斉次）としてみると、パッと見で一回微分すると次数が１減るみたいなんで、
単純に、y = x^α と置いて、斉次方程式に代入してみると、y=x^2 と、y=1/x が（独立な）解ということがわかります。
あとは、非斉次方程式の特殊解を見つければいいわけですが、これは、見た目から y=-x/2 ていうのが見つかります。
というわけで、一般解は、
y = C1*x^2 + C2/x - x/2
ですね。

お礼

ありがとうございます！

簡潔丁寧な説明でよく分かりました。

このように解くことができるのですね！
まだまだ勉強不足です＞＜

大変助かりました、本当にありがとうございました。

回答No.3

reiman

２階線形微分方程式の一般解はその「斉次式の」特解を１つ使えばば求まる。
多分、
２階線形微分方程式の一般解はその特解を１つ使っても一般的には求まらない。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

rabbit_cat

（定数係数でない）２階線形微分方程式は、一般的な解法はありません。
ただし、なんとかして、特解 u(x) を一つ見つけられれば、
y = u(x)*x
と変数変換すると、１次線形微分方程式（一般解法がある）になります。

補足

ありがとうございます！

これは大学院入試過去問題なのですが解答が公開されないため質問しましました。

この２問のみを考えるとき、手計算でなんとか解くことが出来るはずなのですが自分にはわかりませんでした。

もしよろしければこの問題についてで結構ですので再考していただけないでしょうか？

よろしくお願いします。