常微分方程式、無限級数による解法（独学）

質問

（問題）
y`-y=0(1)の解がy=Σ（k=0～∞）a(k)x^k＝a(0)+a(1)x+a(2)x^2+,,,(a(k)はある定数）(2)

の形であらわされるとして、この微分方程式を解け。
（参考書の解答）
(2)の両辺をｘで微分して、
y´＝Σ（k=0~∞）（a(k)x^k）´＝Σ（k=0~∞）(k+1)a(k+1)x^k(3)
(3)と(2)を(1)に代入して、
Σ（k=0~∞）｛（k+1)a(k+1)-a(k)｝x^k=0(4)
全てのｘに対して(4)が成り立つ時、a(0)≠０とおいて（★１）、
a(k)=1/k!a(0)(5)
(5)を(2)に代入して、
a(0)Σ（k=0~∞）(1/k!)x^k=a(0)(1+x/1!＋x^2/２!＋、、、）
＝a(0)e^x(ー∞＜ｘ＜∞）（ただし、a(0)は任意定数★２）
（疑問）
□★１でa(0)≠０とおいているのはなぜでしょうか？
□★１でa(0)≠０としているにもかかわらずa(0)は任意定数となっているのはなぜなのでしょうか？
□全てのｘに対して(4)が成り立つ時としているのですが、なぜ勝手に全てのｘについて成り立つとしてよいのでしょうか？（すべてのｘについて級数(2)の形で表せるとは限らないと思います、収束条件＝すべてのｘについて級数が収束するとは限らない）

回答No.1

oze4hN6x · ベストアンサー

疑問1, 2:
(4)式が全てのxについて成り立つならば
(k+1)a(k+1)-a(k) = 0
です。これを漸化式としてみればわかりやすいのですが、a(0)=0の場合にはa(k)=0ですよね。これは y = 0という自明な解を意味します。つまり、a(0)を0以外の任意の数とするのは、y=0という自明な解以外を考えるということです。

疑問3:
(2)の形で表されるとしてという仮定が与えられているので、(この問題では)全てのxについて考えてよいでしょう。

お礼

ありがとうございました