収束の定義について

質問

収束の定義で、以下のように書いてありました。
点列{x^m}(m=1,∞)がa∈R^nに収束する⇔∀ε>0, ∃m*, ∀m≧m*, d(x^m,a)<ε
※（d(x,y)はxとyの距離）

この定義で、m*が用いられていますがこのm*は何のためにあるのでしょうか？

回答No.1

proto · ベストアンサー

「∀m≧m*」の部分は『mが充分に大きければ』という事を意味しています。
では具体的に充分大きいmとはどれくらい？といわれたときm*を持ってきて、mがm*以上なら d(x^m,a)<εとなるから充分に大きいと考えて良いだろう、となります。
m*は点列{x^m}をd(x^m,a)<εに抑えるための最小のmを表しています。
もちろんmがm*より小さい場合には、mは充分に大きいとは云えないのでd(x^m,a)<εとなる保証はありません。

ちなみに感覚的にわかると思いますが、εが小さくなるとそれに合わせてm*もより大きくなければd(x^m,a)<εを満たす事が出来なくなります。
一般的にm*はεの関数です。