幾何平均の収束の問題

質問

学校の課題で以下の問題がありました、まったくわかりません。
「区間（０，１）の一様乱数の幾何平均
データ→∞のとき
ある値に収束することを示せ」
です、ヒントでも答えでも誰か教えてください！

回答No.1

incd · ベストアンサー

データを x1,x2.., y_n n番目までの幾何平均とすると定義から直ちに
y_n = (x1・x2…xn)^(1/n)　と表されます。この両辺の自然対数をとると
log(y_n) = log[(x1・x2…xn)^(1/n)]
= n^(-1) [log(x1) + log(x2) + … + log(xn)]
になります。
大数の法則は知っていますか？
そうであれば、log(y_n) が log(x)の期待値に収束することがわかります。つまり、log(y_n) →　E[ log(x) ].
最後に y_n = exp[ log(y_n) ] なので、
y_n → exp[ E{log(x)} ].

お礼

お返事が送れて申し訳ありません。

この手の問題にはいろいろな解き方があることがわかりました。

参考にさせていただきありがとうございました。