対数平均について

質問

工学の勉強しているのですが、下記のような平均の計算方法がありました。

算術平均（相加平均）：(A+B)/2
幾何平均（相乗平均）：√(A+B)
対数平均：(A-B)/ln(A/B)

算術平均と幾何平均は理解できるのですが、対数平均の定義が良く分かりません。Wikipediaに載っている調和平均とも違うみたいです。どなたか、対数平均の定義をご存知の方がおりましたら、是非教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.4

felicior · ベストアンサー

ラグランジュの平均値の定理というのがあります。
A≦x≦Bで微分可能な関数f(x)について
f(B)-f(A)=f'(C)・(B-A)
を満たすCがA≦C≦Bの範囲に存在するというものです。

f'(x)が連続な単調関数ならば上の式を満たす唯一のCが、
必ずA≦C≦Bの範囲にあることを利用して
いろいろな平均を作ることができます。

f(x)=x^2 とすると相加平均
f(x)=1/x (x>0) とすると相乗平均
f(x)=ln(x) とするとご質問の対数平均が出て来ます。

f'(x)=1/x より
ln(B)-ln(A)=(1/C)(B-A)
これを解くと
C=(A-B)/ln(A/B)
となります。

これらの平均の使い分けについては分かりませんが…。

お礼

ご回答ありがとうございました。
ラグランジュの平均値の定理を初めて知りました!
相加平均と相乗平均との関連付けも大変参考になりました。

回答No.3

OKWave_com

私も門外漢です。

対数平均は、英語で "Logarithmic mean" です。
式は、websterさんが書かれている通りです。
（もう一つ異なる定義があり、applicationによってどちらの定義を選択するかが決まるとのことでした。下記WikipediaにReferencesとして記載されているリンク先にこの記載がありました）

Wikipediaにも掲載されています。
http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_mean

また、"logarithmic mean"で検索してみた結果です。
http://search.goo.ne.jp/web.jsp?JP=0&SGT=0&PT=dict&from=query&MT=%22logarithmic+mean%22&web.x=45&web.y=10&DC=10

お時間のある時に、上記検索結果をながめて見られたらいかがですか？

※websterさんが書かれている定義というのは、こんなところで良いのでしょうか？
それともこの式がどのような意味を持つのか、あるいはこの式の導出過程がわかると良いのでしょうか？
（そうなると私には手が負えませんが）

お礼

ご回答ありがとうございました。
日本語のWikipediaしか調べていませんでした・・・。
英語のWikipediaには載っていたんですね！
大変参考になりました。

回答No.2

arrysthmia

少し調べてみましたが、熱力学方面に「対数平均温度差」という用語があるようですね。
どうやら、「温度差の、その対数に対する平均変化率」という意味で言っているようで、
別段、「温度差の対数平均」ではないみたいです。（門外漢につき、山勘ですが。）

「対数平均」とは、あまり関係のない用語だと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

arrysthmia

工学方面では、そのような用語があるのでしょうか？

普通、単調な関数 f と、その逆関数 f^-1 に対して、
(f^-1)(　(1/n) Σ[k=1…n] f(x_k)　) のことを、
データ { x_k | k=1…n } の「 f 平均 」と言います。
「 m乗平均 」が、よく使われますね。

その言い方で「 対数平均 」と言えば、相乗平均の別名
であるように思われますが…。さて？

お礼

ご回答ありがとうございました。