平均が強収束しない例

質問

ヒルベルト空間の閉凸集合 C から Cへの非拡大写像 T が不動点をもつとき、T に対する平均が T の不動点に弱収束することが知られています。強収束しない例はどのようなものがあるのでしょうか？

回答No.10

stomachman

ANo.9のコメントについて。

> ご提示の写像 T は非拡大写像ではないような気がします。

　はい。ノルムが発散しちゃいますからね。
　ノルム一定の適当な数列の列で条件を満たすような例p, Tp, (T^2)p, …をひとつ構成し、それから、ずいぶん強引な写像
　　T'x = if ∀s∀n(s≠0→((T^n)p)≠x) then sp else Tx
および、Tが何回作用したかをデコードする仕組み
　　f((T^n)(sp))=n
を組み込んでやれば、例pだけで収束性を証明すれば足りるという話に帰着できそうですが、（たとえば
　　(T^n)p = (0がn個),(√(n+1) がn+1個),0,…
のようなもの？）しかしこれじゃあまりに人工的過ぎる。もうちょっとましなのを考えたいです。

回答No.9

stomachman

ANo.2,6,7 stomachmanです。

ノルムが発散しちゃうのは気にしないことにすれば、
　　C={x | ∀k( |x[k]|≦1 )}
についてANo.7で書いた T: C→C
　　(Tx)[1] = 0
　　(Tx)[2] = x[1]
　　(Tx)[k] = max( x[k-1], x[k-2) )　(k≧2)
は例になってるんじゃないかと思います。（まだ細かいとこがいい加減なんですが。）

　　S(n) = Σ{k=0～n}((T^k)x)
とします。

　S(n)/nがどうなるか、イメージを掴むために
　　a[K]=1, a[k]=0 (k≠K)
という例を考えたところ
00001000000000000000000… = (T^0)a
00000110000000000000000… = (T^1)a
00000011100000000000000… = (T^2)a
00000001111000000000000… = (T^3)a
00000000111110000000000… = (T^4)a
00000000011111100000000… = (T^5)a
こんな感じになり、
　　((T^n)a)[j] = (n≦j＜2n then a[K], else 0)
なので、S(n)[j]はj<Kと2n+K≦j では 0、K≦j＜n+K-1 ではjについて単調増加で、S(n)[j]≒((j-K+1)/2)a[K]、n+K≦j ≦2n+K-1ではjについて単調減少。

(1) 弱収束
　　∀j( j＜n → ((T^n)x)[j] = 0
であるから、
　　∀j(lim{n→∞}(S(n))[j]/n→0)
だからS(n)/nは弱収束している。
jを固定してnを増やしていくと、n≧j以降ではS(n)[j]は一定値になるのでS(n)/n→0、ってことです。

(2) 強収束
　　K = min{k | |x[k]|≠0 }
とすると x∈Cより
　　|x[K]| ≦ |S(n)[n]|/(n+K-1) ≦ 1
だからKが有限である限り、n→∞のとき|S(n)[n]|は0にならず、S(n)/nは強収束していない。

補足

ご回答ありがとうございます。
ご提示の写像 T は非拡大写像ではないような気がします。

回答No.8

itukadarekato

来週この問題に詳しい友人に会うので聞いてみます

わかったら投稿します

蛇足ですが

この非線形エルゴード定理は
軌道が有界であることを仮定する方が普通だと思います
この場合は不動点の存在を仮定する必要はありません

回答No.7

stomachman

ANo.2のコメントで仰ってる意味、やっと分かりました。「Tに対する平均が不動点cに弱収束する」というのは、点列p(n)=(1/n)Σ[k=0..n]((T^k)x)について、
　　n→∞のときに p(n)→c
って意味なんですね。nが増えてく。そしてノルムは２乗ノルム。だからTがいくらノルムを保存したって、1/nが効いて
　　||p(n)[m])-c||→0
で強収束するだろ、というご指摘。なるほど。ANo.2,6は撤回です。すいません。

　Cが閉包だからノルムが発散するような点は入れられない。そして、「列を後ろに押しやり」ながら、同時に1/nされてもノルムが縮まない仕掛けを再帰的に構成しなくてはならない。試しに
　　(Tx)[m] = max(x[m-1],x[m-2]), x=<1,0,0,…>
とか考えてみましたが、今度はCがどういう集合なのか分からなくなっちゃいました。むむむ…

回答No.6

stomachman

ANo.2に付けられたコメントについてです。
　(Ta)[0] = 0, (Ta)[n] = a[n-1] (n=1,2,...)の写像ではどの成分も添字の番号が変わるだけだからノルムは変化しない。するとT, T^2, ...を平均してもノルムは同じ。だったら強収束ではないでしょう？
　あれれ？ stomachman、例によって何か勘違いしてますでしょうか。

回答No.5

noname#152422

ごめんなさい、#4のコーシー列云々のくだりは真っ赤なうそでした。

回答No.4

noname#152422

0∈Ｃ、Ｔとしてシフト作用素とします。弱収束性は明らか。

ε>0に対して、(x[k])がコーシー列であることと(x[k])→0であることから、あるn_0があってn_0≦m,nにたいして|x[m]+x[m+1]+…+x[m+n-1]|<ε、かつ、|x[n]|<εとやっておくと、

ノルムの二乗を評価するときに

n_0≦m,nを満たすような|x[m]+x[m+1]+…+x[m+n-1]|/nの2乗の和が収束しますし、

m<n_0≦nの項は、((（有限和）/n)+正数×ε)^2の有限和の格好になって、

結局0に収束してしまって反例にならないようです。

一工夫してできそうな気がしないでもないですがすぐ思いつきません。回答にならない回答でごめんなさい。

回答No.3

itukadarekato

質問の意味がこの文章からははっきりしませんが

Baillonの不動点定理について
初期点をx∈CとしてTによる軌道{T^nx}のチェザロ平均は
不動点に弱収束しますが強収束しない例として
どんなものがあるか

を知りたいのではないかと想像されます

九州工業大学の　Tomonari Suzuki　先生が
反例を作ったと聞いたことがあります
論文を調べてみたらどうでしょうか

補足

ご回答ありがとうございます。

質問の意図はご想像の通りです。

論文調査の件ですが、Tomanari Suzuki 先生とWataru Takahashi 先生
が2001年に Nonlinear Anal.という雑誌に発表された共著論文には
所望の反例は記載されていませんでした。

もう少し調べてみます。

回答No.2

stomachman

点aの成分をa[n] (n=0,1,2,...)と書く事にして、ノルムが一定値以下であるような点の集合Cにおいて、Tを例えば
(Ta)[0] = 0
(Ta)[n] = a[n-1] (n=0,1,2,...)
とすれば、変換Tによってノルムは変わらないので普通の意味での収束は起こらないけれども、Tの不動点c: c[n]=0 (n=0,1,2,...)に近づくでしょ。

補足

ご回答ありがとうございます。

ご提示の T の軌道の平均は強収束するような気がしますが、いかがでしょうか？

回答No.1

noname#152422

「非拡大写像」と「平均」の定義は何ですか？

補足

説明不足で申し訳ありませんでした。

C　から C への写像 T が「非拡大写像」であるとは、||Tx-Ty|| ≦ ||x-y|| (x,y ∊ C) が成り立つこと、
T の「平均」とは、各 x ∊ C に対する(x+Tx+...+T^{n-1}x)/n (n=1,2,3,...) のことです。

よろしくお願い致します。