防衛大学のベクトルの問題です。

質問

４点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃについて、ベクトルＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ、ＯＣ＝Ｃがa・ａ＋２ｂ・ｃ＝ｂ・ｂ＋２ａ・ｃ
ｃ・（ａ＋ｂ）＝ａ・ｂ＋ｃ・ｃを同時に満たす時
三角形ＡＢＣはどんな形か。

この問題で回答の部分がわからなかったので質問です。

まず、回答をみると図を描いてあり。
それは、三角形の頂点をＯとして左下にＡ、真下にＢ、右下にＣと点を打った三角形の図が書いてありました。CA=x CB=yと自動的になってました。

これより、a=c+x　b=x+yと考える事ができ、
これを題意の式に代入した所

(c+x)・(c+x)+2b・c=(c+y)・(c+y)+2(c+x)・c ...(A)
c・(2c+x+y)=(x+x)・(c+y)+c・c ..........(B)
となります。此処で質問１なのですが、ベクトルの問題を解く際に結構自分で勝手にoa=a→とか打つ事って多いのですけど、今回の、CA =xとCB=Yという部分が強引すぎてわかりませんでした。　なにか理由とかあるのでしょうか？？もし是を教科書どおりに置けなかったら解けないのでしょうか？この問いは？？？

続き→
そのあと、(A)(B)の式を整理するとx・x=y・y, x・y=0
始めの式は｜ｘ｜＾２＝｜ｙ｜＾２すなわち｜ｘ｜＝｜ｙ｜となるのでＣＡ，ＣＢは長さが等しく直交するよって∠Ｃが直角であるため直角二等辺三角形。

質問２：（Ａ）（Ｂ）の式を整理するって書いてありますけど。（Ａ）と（Ｂ）の整理ってナニをすれば宵のですか？？連立方程式ですか？それとも（Ａ）の式を全部展開していって、Ａ－Ｂをするのですか？？良くわかりませんでした。。
なので、そのあとの回答の部分で、
”はじめの式は｜ｘ｜＾２＝｜ｙ｜＾２すなわち～”からの意味もわかりませんでした。
どなたか教えてください。
よろしくおねがいします＞＿＜！！

回答No.1

debut · ベストアンサー

質問１は
　問題が三角形ＡＢＣはどんな形か？ときかれているから、三角形の
　辺ＡＢやＢＣやＣＡを使って条件を表そうという考えなんでしょうね。
　条件をそのまま使って、（これも強引っぽいけど・・・）
１．ａ・ａ＋２ｂ・ｃ＝ｂ・ｂ＋２ａ・ｃ　移項して、
　　ａ・ａ－２ａ・ｃ＝ｂ・ｂ－２ｂ・ｃ　両辺にｃ・ｃを加えて
　　ａ・ａ－２ａ・ｃ＋ｃ・ｃ＝ｂ・ｂ－２ｂ・ｃ＋ｃ・ｃ
　　（ａ－ｃ)・(ａ－ｃ)＝(ｂ－ｃ)・(ｂ－ｃ)
　　｜ａ－ｃ｜^2＝｜ｂ－ｃ｜^2
　　よって、ＡＣとＢＣは長さが等しい。
２．ｃ・(ａ＋ｂ)＝ａ・ｂ＋ｃ・ｃ　左辺のカッコをはずして
　　ａ・ｃ＋ｂ・ｃ＝ａ・ｂ＋ｃ・ｃ　移項して整理すると
　　ａ・(ｃ－ｂ)－ｃ・(ｃ－ｂ)＝０
　　(ａ－ｃ)・(ｃ－ｂ)＝０
　　内積が０なので、ＡＣとＢＣは垂直。
というふうにもできるでしょう。

質問２は、
　(A)の式を展開すればいいだけです。（１ヶ所、ｂを置き換え忘れです）
　　(c+x)・(c+x)+2(c+y)・c=(c+y)・(c+y)+2(c+x)・c
(c・c+2c・x+x・x)+(2c・c+2c・y)=(c・c+2c・y+y・y)+(2c・c+2c・x)
　　　※わかりやすくするため( )に入れています。
　　で、同じものが消えて、x・x=y・y だけが残ります。
　　(B)の式も同じように計算してみてください。
　　x・y=0 となるでしょう。

　　すると、x・x=y・y で、x・xは｜x｜^2のことだし、y・yは｜y｜^2のこと
　　なので、｜x｜^2=｜y｜^2、つまり、｜x｜=｜y｜。
　　x はベクトルＣＡのことで、y はベクトルＣＢのことだったので、
　　ＣＡとＣＢの長さが等しい。
　　さらに、x・y=0 からＣＡとＣＢは垂直である、というわけです。

お礼

返事遅くなってごめんなさい！！
復習に時間がかかってました。あと、この問題わかりました。ただ、ちょっと強引な考え方だと思いますけど、こういう問題は慣れる事と、あとは、何でまとめていくのかが重要だと思いました＞＿＜

いつも返事書いていただいて本当にどうもありがとうございました！！！