ストークスの定理を確認する問題です

質問

ベクトル場A=(x+zy,yx,y2+xz)中で、平面S:z = 3-3x-2yとx, y, z 軸の正の
部分とでできる閉曲面S を考える。このとき閉曲面Sの全ての辺における線積分の和
∫A・dl とベクトルの回転の面積分∫(∇×A)・dS が等しいことを示せ。

一通り自力でやってみたのですが
回転の面積分のほうが27/8となり
線積分の和は9/8となり一致しませんでした
どちらかは正しいと思うのですが違うほうの解方教えてください

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

説明の為、原点を O とします。また、平面と x軸, y軸, z軸 の交点をそれぞれ P[X], P[Y], P[Z] とおきます。P[X] = (1, 0, 0), P[Y] = (0, 3/2, 0), P[Z] = (0, 0, 3) となります。※[] の中身は "下付文字" で解釈して頂ければと思います。例えば t[123] は t₁₂₃ という様な具合です。

> 平面:z = 3-3x-2yとx, y, z 軸の正の部分とでできる閉曲面S

「閉曲面」と書かれているので、S は 三角錐 OP[X]P[Y]P[Z] の表面を指すのではないでしょうか。一方で質問者様は S = △P[X]P[Y]P[Z] と解釈していらっしゃるように見受けられます。ストークスの定理は S = 三角錐OP[X]P[Y]P[Z] の場合でも、S = △P[X]P[Y]P[Z] の場合でも成立します。

★ S = △P[X]P[Y]P[Z] の場合
∮A・dl = 9/8 でOKです。面積分の方が誤っています。

ここでは "S: z = z(x,y) = 3 -3x -2y" を (x, y) でパラメータ付けする事にします。パラメータ (x, y) の範囲は、0≦x≦1, 0≦y≦(3/2)(1-x) です。被積分関数は
　接ベクトル1 dt₁ := (∂x/∂x, ∂y/∂x, ∂z(x,y)/∂x)dx = (1, 0, -3) dx,
　接ベクトル2 dt₂ := (∂x/∂y, ∂y/∂y, ∂z(x,y)/∂y)dy = (0, 1, -2) dy,
　面素 dS = dt₁ × dt₂ = (3, 2, 1) dx dy,
　∇×A = (2y, y-z(x,y), y-z(x,y)),
　(∇×A)・dS = 3 (3y-z(x,y)) dx dy = 3(5y - 3(1-x))
となります。後は積分します。
　∫[S] (∇×A)・dS
　　= ∫[x∈[0,1]] (∫[y∈[0,(3/2)(1-x)]] 3(5y - 3(1-x)) dy) dx
　　= (27/8) ∫[x∈[0,1]] (1-x)² dx = 9/8.
よって
　∫[S] (∇×A)・dS = ∮[∂S] A・dl = 9/8.

★ S = 三角錐OP[X]P[Y]P[Z] の場合
閉曲面に境界はありません(∂S = ∅)ので線積分は消えます。
　∮[∂S] A・dl = 0.
面積分については4つある各面について積分します(上の面積分と同様です。ただし面の裏表に注意)。
　∫[S] (∇×A)・dS
　= ∫[△P[X]P[Y]P[Z] ∪ △OP[X]P[Z] ∪ △OP[Y]P[X] ∪ △OP[Z]P[Y] ] (∇×A)・dS
　= 9/8 + 3/2 + (-3/8) + (-9/4) = 0.
よって
　∫[S] (∇×A)・dS = ∮[∂S] A・dl = 0.

お礼

最初の∇×Aの計算でy成分計算するさいにマイナス付け忘れてしまい答えが誤ってしまったことがわかりました

ありがとうございました