グリーンの定理

質問

∫C x^2ydx+(x-y^2)dy
＝∬(C) （１－ｘ＾２）dxdy
＝πー∫[0～1]r^3dr∫[0～2π]cos^2θdθ
＝３π/4πになると思うのですが、
２個めの＝と３個目の＝の部分がなぜこうなるのかわかりません。
教えてください。

C：ｘ＾２＋ｙ＾２＝１

回答No.1

ramayana

２番めの式の積分範囲は、 C でなくて、x^2+y^2 <= 1 なる円盤ですね。また、最後の式は、 3π/4π でなくて、3π/4 ですね。

（２個めの＝について）

∫[x^2+y^2<=1](1-x^2)dxdy＝ π - ∫[0 to 1]r^3dr∫[0 to 2π](cosθ)^2dθ

を示せばよいが、∫[x^2+y^2<=1]1dxdy＝ π が明らかなので、

∫[x^2+y^2<=1] x^2dxdy＝∫[0 to 1]r^3dr∫[0 to 2π](cosθ)^2dθ

を示すことにする。積分変数の変換と、フビニの定理を使う。

一般に、x と y が s と t の 1 対 1 連続的微分可能関数で、この関数により s と t の範囲 Dが x と y の範囲 D' に対応するものとする。また、f(x, y) を、D' において積分可能な関数とする。すると、f(x(s,t), y(s,t)) は、D において積分可能であって、次の等式が成立する（積分変数の変換）。

∫[D']f(x,y)dxdy = ∫[D]f(x(s,t), y(s,t))det(J)dsdt

ただし、 J は、s と t に x と y を対応させる関数の関数行列（「ヤコビ行列」とも呼ばれる）であり、det(J) は、J の行列式である。

ここで、s = r、t = θ、x = rcos(θ) 、y = rsin(θ) と置けば、det(J) = r である（添付図参照）。また、範囲「 x^2+y^2 <= 1 」は、範囲 「 0<= r <= 1 かつ 0<= θ < 2π」に対応する。よって、

∫[x^2+y^2<=1] x^2dxdy
＝∫[0<= r <= 1 かつ 0<= θ < 2π] (rcosθ)^2・rdrdθ
＝∫[0<= r <= 1 かつ 0<= θ < 2π] r^3(cosθ)^2drdθ
＝∫[0 to 2π](∫[0 to 1] r^3(cosθ)^2dr)dθ　（フビニの定理より）
＝∫[0 to 1] r^3dr∫[0 to 2π] (cosθ)^2dθ

となる。

（３個めの＝について）

∫[0 to 1]r^3dr∫[0 to 2π](cosθ)^2dθ = π/4

を示せばよいが、∫[0 to 1]r^3dr = 1/4 が明らかなので、

∫[0 to 2π](cosθ)^2dθ = π

を示す。倍角の公式から (cosθ)^2 = (1+cos(2θ))/2 なので、t = 2θと置けば dθ = (1/2)dt で、

∫[0 to 2π](cosθ)^2dθ = ∫[0 to 4π]((1 + cos(t)) /2) (1/2)dt
=(1/4)∫[0 to 4π]1dt + (1/4)∫[0 to 4π] cos(t) dt
= π+ 0 = π

となる。