ベクトルに関する線積分などの問題です

質問

ベクトル場A=x^3i+y^3j+z^3k、B=x^2i-z^2j+y^2kがある。
(i,j,kは、x,y,z方向の正の向きの単位ベクトルになります。）

(1)線積分∫A・drを求めよ。経路は、(0,0,0)→(1,0,0)→(1,1,0)→(1,1,2)とする。

(2)ベクトル場Bの回転rotBを求めよ。

(3)次の面積分∫rotB・dSを求めよ。ただし、曲面Sは、xy平面上のz>=0にあって、原点を中心とする半径１の半円で囲まれた領域、S={(x,y,z)|x=0,z>=0,y^2+x^2<=1}とする。また、x>0を曲面Sの正の方向とする。

詳しい回答よろしくお願い致します。
(3)に関しては、ストークスの定理を使って線積分に直した方がいいのでしょうか？

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

(1)
∫A・dr
=∫[(0,0,0)→(1,0,0)] (x^3i+0j+0k)・idx
+∫[(1,0,0)→(1,1,0)] (1i+y^3j+0k)・jdy
+∫[(1,1,0)→(1,1,2)] (1i+1j+z^3k)・kdz
=∫[0→1] x^3 dx +∫[0→1] y^3 dy +∫[0→2] z^3 dz
= [x^4/4] [0→1] + [y^4/4] [0→1] + [z^4/4] [0→2]
= (1/4)+(1/4)+(16/4)
= (1/2)+4
= 9/2

(2)
rotB=
| i , j , k |
|∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z|
| x^2 , -z^2 , y^2 |
=i{∂(y^2)/∂y-∂(-z^2)/∂z}
+j{∂(x^2)/∂z-∂(y^2)/∂x}
+k{∂(-z^2)/∂x-∂(x^2)/∂y}
=2(y+z)i

(3)
A#2の補足の訂正
>S={(x,y,z)|x=0,z>=0,y^2+z^2<=1}
をすれば
>x>0を曲面Sの正の方向とする
とあるので(2)の結果より

∫rotB・dS
=∫∫[S] 2(y+z)i・idydz
=∫∫[y^2+z^2<=1,z>=0] 2(y+z) dydz
=∫[-1→1] dy∫[0→√(1-y^2)] (2y+2z)dz
=∫[-1→1] dy [2yz+z^2] [0→√(1-y^2)]
=∫[-1→1] {2y√(1-y^2)+1-y^2} dy

2y√(1-y^2)は奇関数なので対称区間積分は 0、1-y^2は偶関数なので半区間積分の2倍になるから

= 2∫[0→1] (1-y^2) dy
= 2 [y-y^3/3] [0→1]
= 2 (1-(1/3))
= 4/3

丸投げ、丸写ししないで、ちゃんとフォローし理解して、同類の問題は自力で解決できるよう復習をしておいて下さい。特にベクトル解析における内積、ベクトル積、線積分、面積積分のところを基礎から復習しなおすと理解できるようになるかと思います。

補足

大変詳しい説明ありがとうございました。
途中までは計算があっていたのですが、どうやら、二重積分のところでdyについて最初に、積分を行ったために、間違った結果となってしまったようです。dzについて最初に、積分を行わなければならないんですね。

回答No.4

alice_44

←A No.1 補足
S の法ベクトルを求めるのに、
yy+zz≦1 を微分すべきか、x=0 を微分すべきか
は、曲面の概形を思い浮かべて
判断できないとまずいでしょう。
第一、不等式を微分なんて、やりようがない。

補足

すいません。理解力がなさすぎて。
法線ベクトルを求めるのは、ベクトル解析の参考書を参考にして求めました。
補足に対する回答ありがとうございました。

回答No.2

info22_

(3)について質問

>原点を中心とする半径１の半円で囲まれた領域、S={(x,y,z)|x=0,z>=0,y^2+x^2<=1}とする。

このSって、「原点を中心とする半径１の半円で囲まれた領域」になってますか？

>S={(x,y,z)|x=0,z>=0,y^2+x^2<=1}
ではなくて
S={(x,y,z)|x=0,z>=0,y^2+z^2<=1}
なら「原点を中心とする半径１の半円で囲まれた領域」と言えますが…。

補足

すいません。
S={(x,y,z)|x=0,z>=0,y^2+z^2<=1}でした。

回答No.1

alice_44

(1) 線積分の定義に即して、経路の線分ごとに
地道に計算しましょう。
各線分が座標軸に平行なので、処理は比較的簡単
だと思います。

(2) rot の定義を知っているかどうかだけ
の話です。忘れていたら、教科書を確認のこと。

(3) ストークスの定理を持ち出すよりも、
面積分の定義に即して直接計算したほうが、
簡単なように思います。

あまり工夫の余地のない、計算練習みたいですよ。

補足

(3)についてなのですが、rotBを計算したところ、(2y+2z,0,0)となりました。
y^2+z^2=1なので、f(y,z)=x^2+y^2-1という曲面Sを考えることにして、まずは単位法線ベクトルを求めました。
grad(f(y,z))=(2x,2y)となり、単位法線ベクトルは、n=(x,y)となりました。

∫rotB・ndS=∫rotB・n(dydz/n・ex)として、計算しました。

roB・n=(2y+2z)x

n・ex=x

よって、∫(2y+2z)dydzという式に帰着しました。

積分範囲は、y:-1から1,z:0から√(1-y^2)として、

∫[0 to √(1-y^2)]∫[-1 to 1](2y+2z)dydz
=∫[0 to √(1-y^2)][y^2+2zy][-1 to 1]dz
=∫[0 to √(1-y^2)]0dz
=0

これは合っているのでしょうか？
よく理解していないと思いますので、いつも混乱するのですが、2y+2zという被積分関数のzという値に、y^2+z^2=1から、z=√(1-y^2)を代入するべきなのでしょうか？わけがわからなくなります。

もしよければ、他のやり方での解法も知りたいので、ストークスの定理でも、ガウスの定理でも、パラメータ表示を使ったやり方でもいいですので、教えていただけるとありがたいです。