ナビエストークスの式を用いて・・

質問

流体力学に詳しい方に質問です。
平板間の流れをナビエ・ストークスの式を用いて

dp/dx=μd^2u/dy^2
という2階の微分方程式を，境界条件　壁（y=-h or +h平板表面）

で速度がゼロ，中心軸（y=0）で速度分布は対象なのでdu/dy=0

というのを使うと、uはどのようになりますか？
計算の過程も教えてください。お願いします

回答No.3

noname#101466

載せられている例題と境界条件が少し異なるので
ご提示の条件で解を求めてみました。

@y=-h： u=0
@y=h： u=U0
@y=0: du/dy=0
という条件では

p'/μ=d^2u/dy^2 を y で積分すると
∫[y：-h～y](p'/μ)dy=∫[y：-h～y](d^2u/dy^2)dy
(p'/μ)・(y+h)=(du/dy)|(@y)-(du/dy)|(@-h)

y=0 のとき、
(p'/μ)・(0+h)=(du/dy)|(@0)-(du/dy)|(@-h)
(p'/μ)・h=-(du/dy)|(@-h)

更に y で積分して、
∫[y：-h～y](p'/μ)・(y+h)dy
=∫[y：-h～y]{(du/dy)|(@y)-(du/dy)|(@-h)}dy

左辺=(p'/μ)・[{(y^2/2)+hy}|(@y)-{(y^2/2)+hy}|(@-h)]
=(p'/μ)・[{(y^2/2)+hy}-{(h^2/2)-h^2}]

右辺={u(y)-u(-h)}-(du/dy)|(@-h)・(y+h)
=u(y)-(du/dy)|(@-h)・(y+h)

y=0 のとき、
(p'/μ)・(h^2/2)=u(0)-(du/dy)|(@-h)・h
(p'/μ)・h=-(du/dy)|(@-h)　であったから、
(p'/μ)・(h^2/2)=u(0)+(p'/μ)・h^2
u(0)=(-p'/μ)・(h^2/2)
U0=u(0) とする。

∴　(p'/μ)・[{(y^2/2)+hy}+(h^2/2)]=u(y)+(p'/μ)・h・(y+h)
(p'/μ)・[{(y^2/2)+hy}+(h^2/2)-h・(y+h)]=u(y)
u(y)=U0・(-2/h^2)・[{(y^2/2)+hy}+(h^2/2)-h・(y+h)]
=U0・[-(y/h)^2-2・(y/h)-1+2・{(y/h)+1}]
=U0・{1-(y/h)^2}

ただし、U0={-(dp/dx)/μ}・(h^2/2)

回答No.2

noname#101466

以下のページに、「平行平板間のクエット-ポアズイユの流れ」の解が
載せられています。

http://chemeng.on.coocan.jp/fl/fl4.html

回答No.1

noname#95312

外部からの力が　X　である場合
∂^2x/∂t^2=X-(1/ρ)∂p/∂x

この力が、流速　u　に比例するとすれば
∂^2x/∂t^2=k・u-(1/ρ)∂p/∂x
∂p/∂x=-ρ・(∂^2x/∂t^2)+k・u

-ρ・(∂^2x/∂t^2)=-ρ・(∂u/∂t)　なので
-ρ・(∂u/∂t)+k・u=μ・(∂^2u/∂y^2)

u=u_y(y)・u_t(t)　と変数分離できるとすると
-ρ・(∂u_t(t)/∂t)/u_t(t)=μ・(∂^2u_y(y)/∂y^2)/u_y(y)-k

左辺は　t　のみ、右辺は　y　のみの函数なので両辺が定数に等しい。

この両辺の値を　λ　とすると
-ρ・(du_t(t)/dt)/u_t(t)=λ　　　　　　　(*1)
(d^2u_y(y)/dy^2)/u_y(y)=(λ+k)/μ　　(*2)

(*2)　の式において、中心軸　（y=0）　で速度は極大であるので、
u_y(y)　の曲率は負でなければならない。
そこで、(λ+k)/μ=-B^2　とする。

(*1)より、∫du_t(t)/u_t(t)=∫(-λ/ρ)dt
ln{u_t(t)/u_t(t。)}=(-λ/ρ)・(t-t。)
u_t(t)=u_t(t。)・e^{(-λ/ρ)・(t-t。)}

(*2)より、(d^2u_y(y)/dy^2)/u_y(y)=-B^2
d^2u_y(y)/dy^2+B^2・u_y(y)=0

この解は、u_y(y)=α・e^(i・By)+β・e^(-i・By)
と表わされるが、
du_y(0)/dy=0　 の条件より　α=β、　
また、y=±h　において、u_y(±h)=0　より、
2α・cos(±Bh)=0
従って、B=±π/(2h)　となり、結局　u_y(y)=u_y(0)・cos[{π/(2h)}・y]
しかし、この解はこれだけではなく、u_y(y)=Σ[n=0～∞]u_y_n(0)・cos[{(2n+1)・π/(2h)}・y]
とすべきである。

これに応じ、(*1)　の解も、(λ+k)/μ=-B^2　より、(λ_n+k)/μ=-B_n^2=-{(2n+1)・π/(2h)}^2
つまり、λ_n=-μ・{(2n+1)・π/(2h)}^2-k　であり、
u_t_n(t)=u_t_n(t。)・e^【-[(μ・{(2n+1)・π/(2h)}^2-k)/ρ]・(t-t。)】　となるが
この解は、n　が大きくなるにつれ急速に　0　に収斂する。
定常状態となるには、λ_n=μ・{(2n+1)・π/(2h)}^2-k=0　でなければならない。
λ_0=μ・{π/(2h)}^2-k　で、このときの　B_0　は、B_0=π/(2h)

故に解は、u(y)=u(0)・cos[{π/(2h)}・y]　と表わせる。
因みに、k=μ・{π/(2h)}^2

お礼

ありがとうございます