発散定理による面積分の計算

質問

次の問題について質問させて下さい。
発散定理を用いて∬s(Ｆ・ｎ)ｄＡを計算せよ。
Ｆ＝[sinx,y,z] S :ｘ≦π/2、x≦y≦z、0≦z≦1の境界面
です。
発散定理とは、∬s(Ｆ・ｎ)ｄＡ＝∫∫∫(divF)dV　のことです。
divF=cosx+2で、またｙの範囲に注目してｙ、ｘ、ｚの順番にdivFを
積分したところ、（６-π^2）/４となったのですが、解答には
1/2-（π^2)/8+(π^3)/24　となっていました。
どこが間違っているのかが分からず困っています。
どなたか解説をお願いします。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

１．ややこしい範囲ですね。＃1の方の指摘のように　0≦x≦1　となるようです。積分は
∫[0,1]dx∫[x,1]dy∫[y,1]dz(cos(x)+2)=-5/3となる。
ただし、xの範囲を無理矢理∫[0,Pi/2]dxにすれば1/2-（π^2)/8+(π^3)/24　になる。

２．ということは、範囲はz=1の平面とz=yの平面とy=xの平面で囲まれた三角錐の頂点がキッスしたような領域のうち、x=0とx=Pi/2の平面で囲まれた領域と思われます。
さすれば、∫[1,Pi/2]dxの積分の部分は負×負で正になって答えが一致したか。

病み上がりなので頓知問題の検算は勘弁。

お礼

解説ありがとうございました。確かにその範囲で積分すると
解答と同じ答えになりました。
下の範囲がいまだ想像しにくいですが。。。
＞ということは、範囲はz=1の平面とz=yの平面とy=xの平面で囲まれた三角錐の頂点がキッスしたような領域のうち、x=0とx=Pi/2の平面で囲まれた領域と思われます。
endlessriverさん、返信本当にありがとうございました。

回答No.1

eatern27

＞S :ｘ≦π/2、x≦y≦z、0≦z≦1の境界面

xの下限はないのでしょうか？

あと、x≦y≦zから、x≦z(≦1)なので、ｘ≦π/2にはあまり意味がなさそうですが、範囲に間違いはありませんか？

お礼

問題を解くことが出来ました！
私の誤記ですみませんでした。。。
返信ありがとうございました！^^

補足

すみません；私のミスです。
正しくは０≦ｘ≦π/2です。