- 締切済み
行列の、直交行列による対角化
１１１ 行列Ａ＝（１１１）を直交行列により対角化せよ。 １１１ という問題なんですけど、解けないんです（泣） どなたか、教えてください。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- kawaisoo
- ベストアンサー率42% (3/7)
固有値と固有ベクトルの求め方はできるでしょう～ 省略して、固有値は０（重解）と３です。 固有ベクトルは X1＝ｃ１（－１ １ ０）＋ ｃ２（－１ ０ １） と X2＝ｃ３（１ １ １）です。 3つの固有ベクトルとも直交してないので、直交させるベクトルをもとめる必要がるんです。 （－１ １ ０）ｘ（－１ ０ １）＝－１（０でない） （－１ ０ １）ｘ（１ １ １）＝０ これより、 （a b c)ｘ（－１ ０ １）ｘ（１ １ １）＝０になるように、 ａｂｃと求めばいいです。つまり、 （a b c)ｘ（－１ ０ １）＝０ （a b c)ｘ（１ １ １）＝０ 連立して、解けます。 （ａｂｃ）＝（１ －２ １） これより、直交ベクトルができます。 対角化ベクトルは ０００ ０００ ００３
- nuubou
- ベストアンサー率18% (28/153)
問題： 実ｎ次正方行列Ａについて ・Ａは直交行列で対角化できるか？ ・できるならＡを直交行列で対角化せよ 手順： （１） Ａが対称行列であることを確認する 定理：「実正方行列ＡにおいてＡが直交行列によって対角化できるための必要十分条件はＡが対称行列であることである」 定理：「複素正方行列ＡにおいてＡがユニタリ行列によって対角化できるための必要十分条件はＡが正規行列であることである」 （２） 固有値を求める Ｅをｎ次単位行列として｜Ａ－λ・Ｅ｜＝０の解を求める λ［１］，λ［２］，λ［３］，・・・，λ［ｍ］をそれぞれ ｜Ａ－λ・Ｅ｜＝０の ｋ［１］，ｋ［２］，ｋ［３］，・・・，ｋ［ｍ］重根とする ｋ［１］＋ｋ［２］＋ｋ［３］＋・・・＋ｋ［ｍ］＝ｎである λ［１］，λ［２］，λ［３］，・・・，λ［ｍ］はすべて実数である 定理：「実正方対称行列の固有値はすべて実数である」 定理：「エルミート行列の固有値はすべて実数である」 （３） 固有ベクトル空間を求める λ［ｉ］の固有ベクトルをｖ［ｉ］とするとｖ［ｉ］は （Ａ－λ［ｉ］・Ｅ）・ｖ［ｉ］＝０から求めることができる この式を満たすｖ［ｉ］の集合はベクトル空間（固有ベクトル空間）Ｖ［ｉ］を形成しその次元はｋ［ｉ］である 各ｉについてＶ［ｉ］の基底を求める （４） シュミットの直交化法によって 各ｉについてＶ［ｉ］の基底を正規直交化する 定理：「実正方対称行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」 定理：「正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」 （５） （４）により求めた基底をすべて（ｎ個）並べて行列Ｐを作る Ｐはすでに直交行列になっている すべてのｉについてλ［ｉ］をｋ［ｉ］個対角に並べてｎ次対角行列Λをつくる するとＰ＾（－１）・Ａ・Ｐ＝Λとなっている ただしＰ作成時固有ベクトルを並べる順とΛ作成時固有値を並べる順はあわせる 定理：「ノルム１で互いに直交するｎ個のｎ次実ベクトルを並べてできる行列は直交行列である」 定理：「ノルム１で互いに直交するｎ個のｎ次複素ベクトルを並べてできる行列はユニタリ行列である」 定義： 単位行列：対角成分がすべて１の対角行列Ｅ 対称行列：Ａ＾Ｔ＝Ａである行列Ａ 直交行列：Ａ＾Ｔ・Ａが単位行列である実行列Ａ エルミート行列：Ａ＾＊＝Ａである行列Ａ ユニタリ行列：Ａ＾＊・Ａが単位行列である行列Ａ 正規行列：Ａ＾＊・Ａ＝Ａ・Ａ＾＊である行列Ａ ただし Ａ＾ＴはＡの転置行列 Ａ＾＊はＡの複素共役転置行列 単位行列、実対称行列、直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列はすべて正規行列である
- nasu0911
- ベストアンサー率33% (3/9)
まず行列の対角化について次の事を知っていないといけません。３次とします。 正方行列Ａのの固有値λ1,λ2,λ3についてそれぞれに属する0でない固有ベクトルをp1,p2,p3とするとき、行列 P=(p1,p2,p3)=(p11 p12 p13 p21 p22 p23 p31 p32 p33) を対角変換行列といいます。 そして、行列Aは以下のようにPによって対角化されます。 P-1AP=(λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3) そして問題ですが、まずAの固有値を求めなければなりません。 |A-λI|=0を解きます。 |1-λ 1 1 1 1-λ 1 1 1 1-λ| =(1-λ)^3+1+1-3(1-λ)=(3-λ)λ^2 なので固有値は λ1=0，λ2=0，λ3=3 となり，固有ベクトルPは P=V = 0.4082 0.7071 0.5774 0.4082 -0.7071 0.5774 -0.8165 0 0.5774 となり、Ｐ^-1ＡＰ=(0 0 0.0000 0 0 0.0000 0 0 3.0000) となります。
