線形代数の直交行列、固有値の問題を教えて下さい

質問

この問題が分かりません、
行列A=
-1 -2 4
-2 2 2
4 2 -1
がある。

(1)Aの固有値を求めなさい
(2)直交行列を用いて行列Aを対角化しなさい
という問題です。
教えて下さい、お願いいたします

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(1)
A=
[-1,-2, 4]
[-2, 2, 2]
[4, 2, -1]

Eを3x3の単位行列とすると
固有方程式
det(A-tE)=
|-1-t,-2, 4|
|-2, 2-t, 2|=-(t+6)(t-3)^2=0
|4, 2, -1-t|
固有値t=-6, 3(重解)

(2)
t=-6に対する固有ベクトルを求めると v1(1,1/2,-1)
t=3(重解)に対する固有ベクトルを求めると v2(1,0,1), v3(0,1,1/2)
P=[v1,v2,v3]=
[ 1 ,1, 0]
[1/2,0, 1]
[-1,1,1/2]

Pの逆行列:
P^-1=(1/9)*
[4,2,-4]
[5,-2,4]
[-2,8,2]

対角化行列
(P^-1)AP=
[-6,0,0]
[ 0,3,0]
[ 0, 0,3]

お礼

ありがとうございます。
とてもありがとうございます