sin１°は有理数ですか？

質問

tan１°は無理数との証明があります。

http://www.sundai.ac.jp/yobi/sokuhou/kyodai2/sugakua/k05.htm

では、sin１°も多分無理数と思うのですが、証明はありますか？

回答No.2

adinat · ベストアンサー

回答ではありませんが、追加情報です。

一般に
tan(θ)が有理数ならtan(2θ),tan(3θ),tan(4θ),…は有理数。
cos(θ)が有理数ならcos(2θ),cos(3θ),cos(4θ),…は有理数。
sin(θ)が有理数ならsin(3θ),sin(5θ),sin(7θ),…は有理数。
が成立します。このことはn倍角の公式と密接に関係しています。sinだけはやや仲間はずれですが、たとえばsin(30°)=1/2なのにsin(60°)=√3/2と無理数になってしまうのですね。

証明はn倍角の公式の係数に注意すれば容易ですが、いろいろ面倒な議論も必要ですので、ここに書くのは諦めます。ご興味があれば実際に試してみてください。ただn倍角の公式を直接扱うより、三角多項式のフーリエ級数展開：
例）sin(θ)^7=(-1/64)sin(7θ)+(7/64)sin(5θ)+(-21/64)sin(3θ)+(35/64)sin(θ)
sin(θ)^9=(1/256)sin(9θ)+(-9/256)sin(7θ)+(36/256)sin(5θ)+(-84/256)sin(3θ)+(126/256)sin(θ)
などを使うと速いと思います。この公式がどれぐらいよく使われているのか僕は知りませんが、n倍角の公式を誰よりも速く計算できる優秀な公式だと（僕は）思っています。しかも暗記しやすいのです。出てくる係数は二項係数と関係があるので。

お礼

いろいろありがとうございます。sin1°が無理数であることを示すには、cos89°が無理数であることを示してもいいと思います。

拡張して、cos(n°)が有理数になるのは、1≦n≦89の範囲では、n=60のときになる理由を次のように考えてみました。

cos5θ＝16(cosθ)^5－20(cosθ)^3＋5cosθ（5倍角の公式）で、θ=72°として計算すると、cos72°は整数係数の５次方程式の解となるが、その解が有理数であれば、(定数項の約数/最高次の係数の約数)の形になるはずだが、その全パターンを調べてみても解とはならないことが分かる。つまり、cos72°は無理数。

ここで、72+360mの約数におけるcosは無理数になる。
たとえば、m=2とした72+360*2の約数の11において、
cos11°は無理数。
なぜなら、cos11°が有理数と仮定すると、一般の倍角の公式によって、11°の倍数のcosは全部有理数となるが、cos(11°*72)=cos(72°+360°*2)も有理数となり矛盾するから。

そうして、72+360mにおける約数をしらみつぶしに調べる。
しかし、たとえば10は決してその約数にならない。
そこで、
cos3θ＝4(cosθ)^3-3cosθ（3倍角の公式）で、θ=20°として計算するとcos20°は無理数とわかる。
同様に、20+360mにおける約数をしらみつぶしに調べる。
こんなことでがんばれば、cos(60°)だけが有理数と分かる。

しかし、もっといい方法は無いでしょうか？
また、もっと一般に、cos(π*p/q)が有理数となる場合はどういったときか、調べれないでしょうか？
新に質問を投稿させていただく予定ですので、またよろしくお願いいたします。

回答No.4

pyon1956

#3です。あとcos18°= (√(10+2√5))/4と、cos15°=(√6+√2)/4も必要ですね。んでもって加法定理で、sin3°をもとめればOKのはずです。

お礼

いろいろありがとうございます。
さらなる発展について、考えるきっかけができました。

回答No.3

pyon1956

sin18°=(√5-1)/4, sin15°=(√6-√2)/4を用いて、sin3°を求めます。
これは無理数です。（計算してませんが）
有理数の有理係数整式の値は有理数となりますから、3倍角の公式よりsin1°が有理数ならsin3°は有理数のはずです。ところがsin3°は有理数ではないので、sin1°も有理数ではないことになります。

お礼

いろいろありがとうございます。sin1°が無理数であることを示すには、cos89°が無理数であることを示してもいいと思います。

拡張して、cos(n°)が有理数になるのは、1≦n≦89の範囲では、n=60のときになる理由を次のように考えてみました。

cos5θ＝16(cosθ)^5－20(cosθ)^3＋5cosθ（5倍角の公式）で、θ=72°として計算すると、cos72°は整数係数の５次方程式の解となるが、その解が有理数であれば、(定数項の約数/最高次の係数の約数)の形になるはずだが、その全パターンを調べてみても解とはならないことが分かる。つまり、cos72°は無理数。

ここで、72+360mの約数におけるcosは無理数になる。
たとえば、m=2とした72+360*2の約数の11において、
cos11°は無理数。
なぜなら、cos11°が有理数と仮定すると、一般の倍角の公式によって、11°の倍数のcosは全部有理数となるが、cos(11°*72)=cos(72°+360°*2)も有理数となり矛盾するから。

そうして、72+360mにおける約数をしらみつぶしに調べる。
しかし、たとえば10は決してその約数にならない。
そこで、
cos3θ＝4(cosθ)^3-3cosθ（3倍角の公式）で、θ=20°として計算するとcos20°は無理数とわかる。
同様に、20+360mにおける約数をしらみつぶしに調べる。
こんなことでがんばれば、cos(60°)だけが有理数と分かる。

しかし、もっといい方法は無いでしょうか？
また、もっと一般に、cos(π*p/q)が有理数となる場合はどういったときか、調べれないでしょうか？
新に質問を投稿させていただく予定ですので、またよろしくお願いいたします。

回答No.1

agricap

特にその証明、というのは見つけられませんが、・・・
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/math/sanka2.htm

を参考にすると、
sin3θ=・・・(３倍角の公式）
sin5θ=sin(2θ+3θ)=・・・(加法定理、２倍角、３倍角の公式を使って変形）
以上と、sin^2θ+cos^2θ=1 であることをふまえると、
sin3θ、sin5θ、はすべて sinθ の積和の形に変形できそうです。
したがって、sinθ を有理数であると仮定すると、θを
３×３×５＝４５倍して、sin45θ も有理数。
よって、sin1°が有理数ならば、sin45°も有理数になります。
しかし sin45°=1/√2 で無理数、だから矛盾します。
したがって、sin1°は無理数です。

ちなみに tan の場合は、
http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50574760.html
のようなよりスマートな解法が見つかりましたが、sin の場合
はこうも単純にはいかないようです。

お礼

いろいろありがとうございます。sin1°が無理数であることを示すには、cos89°が無理数であることを示してもいいと思います。

拡張して、cos(n°)が有理数になるのは、1≦n≦89の範囲では、n=60のときになる理由を次のように考えてみました。

cos5θ＝16(cosθ)^5－20(cosθ)^3＋5cosθ（5倍角の公式）で、θ=72°として計算すると、cos72°は整数係数の５次方程式の解となるが、その解が有理数であれば、(定数項の約数/最高次の係数の約数)の形になるはずだが、その全パターンを調べてみても解とはならないことが分かる。つまり、cos72°は無理数。

ここで、72+360mの約数におけるcosは無理数になる。
たとえば、m=2とした72+360*2の約数の11において、
cos11°は無理数。
なぜなら、cos11°が有理数と仮定すると、一般の倍角の公式によって、11°の倍数のcosは全部有理数となるが、cos(11°*72)=cos(72°+360°*2)も有理数となり矛盾するから。

そうして、72+360mにおける約数をしらみつぶしに調べる。
しかし、たとえば10は決してその約数にならない。
そこで、
cos3θ＝4(cosθ)^3-3cosθ（3倍角の公式）で、θ=20°として計算するとcos20°は無理数とわかる。
同様に、20+360mにおける約数をしらみつぶしに調べる。
こんなことでがんばれば、cos(60°)だけが有理数と分かる。

しかし、もっといい方法は無いでしょうか？
また、もっと一般に、cos(π*p/q)が有理数となる場合はどういったときか、調べれないでしょうか？
新に質問を投稿させていただく予定ですので、またよろしくお願いいたします。