sinθ＜tanθ

質問

0≦θ＜2πのとき、sinθ＜tanθという問題を解いてみましたが、不正解でした。
どこが間違っているか、解説してください。
よろしくお願いします。

【不正解】
sinθ＜tanθ　・・・　(1)
tanθ＝sinθ/cosθを(1)に代入すると
sinθ＜sinθ/cosθ　・・・　(2)
(2)の両辺にcosθをかけると
sinθcosθ＜sinθ　・・・　(3)
(3)を変形すると
sinθ(1－cosθ)＞0　・・・　(4)
(4)で1－cosθ≧0より、sinθ＞0
したがって、0＜θ＜π

回答No.6

info22_

三角不等式は、図を描いて解くと間違いが少ないと思います。

[不正解]な解
●不等式の両辺に0を掛けてはいけない。
cos(θ)は0≦θ＜2πでゼロになるところがあります。
→　θ=π/2, 3π/2
この時は不等式の意味が失われてしまう。
不等式に関係なく左辺=右辺=0の式になる。

●不等式の両辺に負数を掛けると不等号の向きが変わる。
cos(θ)は0≦θ＜2πで正数にも負数にもなる。
cos(θ)＜0の時は両辺にcos(θ)を掛けると不等式の向きを逆向きに
しなければならない。
[不正解]ではcos(θ)＜0の時に不等式の向きを逆向きに
しなければならないが、不等号の向きを変えていない。

不等式ではグラフを描いて解くと間違いが少ないでしょう！
y=sin(θ)とy=tan(θ)のグラフの概形を描いた図を添付します。
0≦θ＜2πで
sin(θ)＜tan(θ)
となるのは
y=tan(θ)のグラフがy=sin(θ)のグラフの上に来る、図の赤のθの範囲です。
すなわち、「0＜θ＜π/2またはπ＜θ＜3π/2」
（不等式に等号がないので解の不等号には等号は付きません。）

↑が答えになります。

回答No.5

anisakis

回答No4さんが仰っていますが
cosθが0ならtanθは定義されません
0の場合もあるとややこしい話を持ち出してしまいましたが
そんなところでは大小を比較すること自体できませんので考える必要ありません

お礼

みなさん、ありがとうございます。
助かりました。
式だけで考えずに、図を描くことを心がけます。

回答No.4

alice_44

貴方の証明が正しいか正しくないか以前に、
そもそも命題自体が真でないことは、
cos と tan のグラフを書いて見れば明らか。
0≦θ＜2π の範囲には、
tanθ が定義されない点すら含まれているし。

ひょっとして、問題のほうが
0≦θ＜π/2 の間違いなんじゃないのか。
その範囲なら、貴方の証明で正解になる。

回答No.3

anisakis

>(2)の両辺にcosθをかけると
>sinθcosθ＜sinθ　・・・　(3)

cosθは負の値や0もありえます

補足

「cosθは負の値や0もありえます」
少しわかってきました。
cosθ≠0のときは、下の解答のようになると思いますが、
cosθ＝0の取り扱いをどうしたらいいかわかりません。
tanθ＝sinθ/cosθとしたことで、分母に0を取り得る形に
変形したことがまずいのでしょうか？
解説をよろしくお願いします。

【やり直し解答】
sinθ＜tanθ　・・・　(1)
tanθ＝sinθ/cosθを(1)に代入すると
sinθ＜sinθ/cosθ　・・・　(2)
(a)cosθ＞0のとき
　このとき0＜θ＜π/2、3π/2＜θ＜2π
　(2)の両辺にcosθをかけると
　sinθcosθ＜sinθ　・・・　(3)
　(3)を解いて0＜θ＜π/2　・・・(4)
(b)cosθ＜0のとき
　このときπ/2＜θ＜3π/2
　(2)の両辺にcosθをかけると
　sinθcosθ＞sinθ　・・・　(5)
　(5)を解いてπ＜θ＜3π/2　・・・(6)
(4)、(6)より
0＜θ＜π/2、π＜θ＜3π/2

回答No.2

MSZ006

＞　(2)の両辺にcosθをかけると
＞　sinθcosθ＜sinθ　・・・　(3)

とありますが、cosθはいつも正の数とは限りません。

回答No.1

Tacosan

(2) から (3) がおかしい. グラフを描けば明らか.

それ以前に, 「0≦θ＜2πのとき、sinθ＜tanθという問題を解いてみました」は, 少なくとも次の 2通りに解釈できそう:
・0≦θ＜2π という条件で不等式 sinθ＜tanθ を解く
・「0≦θ＜2πのとき、sinθ＜tanθ」という命題を証明する
他にも考えられるかなぁ?