４sin10°＋√3 tan10°＝ 1

質問

４sin10°＋√3 tan10°＝ 1
とのことですが、どのように証明できるのでしょうか?

図形的に示せると聞いたのですが。

回答No.6

inara1 · ベストアンサー

ANo.5です。訂正します。
【誤】　(√3)*tan(10°) = b*r --- (3)
【正】　(√3)*tan(10°) = b/r --- (3)

最後から２番目
【誤】　式(3)と式(5)から
　　　(√3)*tan(10°) + 4*sin(10°) = b*r + 2*a/r = ( 2*a + b )/r
【正】　式(3)と式(5)から
　　　(√3)*tan(10°) + 4*sin(10°) = b/r + 2*a/r = ( 2*a + b )/r

回答No.5

inara1

＞図形的に示せると聞いたのですが

こういう解き方もあります（図的解法が望まれるものなのでしょうか）。

まず、下図のように、一辺 r の正三角形 ABC を考えます。

　　　　　　　　 C
　　　　　　　　 ・
　　　　　　　・　　　E
　　　　　　・　　　 ・
　　　　 ・　　　　　　 ・ D
　　　 ・
　A ・　・　・　・　・　・　・B
　　　　　　　　　　　 G
　｜←─── r ──→｜

角∠BAC の三等分線 AD と AE を作ります。そうすると、∠BAD = ∠DAE = ∠EAC = 20°になります（図は歪んでいますが）。

まず、BD = EC = a 、DE = b とします（ BC = r なので、2*a + b = r なのですが、ここでは b のままにしておきます）。そうすると、∠DAE = 20°なので
　　　DE/2 = b/2 = AD*sin(10°) --- (1)
となります。

一方、A から線分BCに下ろした垂線の足を F とすれば（図に描けないのですが、F はDEの中点です）、AF = AD*cos(10°) ですが、AF というのは AB*cos(30°) でもあるので
　　　AF = AD*cos(10°) = AB*cos(30°)
となります。AB = r、cos(30°) = (√3)/2 なので上式は
　　　AD*cos(10°) = r*(√3)/2 --- (2)
と変形できます。したがって、式(1)と式(2) から
　　　(√3)*tan(10°) = b*r --- (3)
という関係式が得られます（問題の式の１つが出てきました）。

D からABに下ろした垂線の足を G とします。直角三角形 ADG を考えれば
　　　AD*sin(20°) = GD
となりますが、GD というのは BD*sin(60°) = a*sin(60°) =a*(√3)/2 でもあるので
　　　AD*sin(20°) = a*(√3)/2
となります。倍角の公式から　sin(20°) =2*sin(10°)*cos(10°) なので、上式は
　　　2*AD*sin(10°)*cos(10°) = a*(√3)/2 --- (4)
と書けます。ここで cos(10°) というのは、式(2)から
　　　cos(10°) = r*(√3)/( 2*AD )
なので、式(4)は
　　　2*AD*sin(10°)*r*(√3)/( 2*AD ) = a*(√3)/2
　　　→ (√3)*r*sin(10°) = a*(√3)/2
　　　→ 4*sin(10°) = 2*a/r --- (5)
となります（これで問題の式のもう１つが出てきました）。

式(3)と式(5)から
　　　(√3)*tan(10°) + 4*sin(10°) = b*r + 2*a/r = ( 2*a + b )/r
ですが、2*a + b = r なので
　　　(√3)*tan(10°) + 4*sin(10°) = 1

後半で「倍角の公式」を使うのというのがキレイではないのですが・・・
倍角の公式を使わない解法がありましたら、続けて回答をお願いします。（点Aを中心として点B, C を通る円を描いて、線分ADの延長線とその円との交点を H　として、三角形 BDH を考える方法でしょうか。そうすると ∠DBH = 20°になりますが・・）。

回答No.4

take_5

どジッタ。。。。。。。笑い

与式＝4x＋√3*（x/y）＝4x＋x（8y＾2-6）＝4x＋x（8-8x＾2-6）＝4x＋x（2－8x＾2）＝6x-8x＾3＝1.

√3を消すだけの単純な問題だった。。。。。恥

回答No.3

take_5

相変わらず、そそっかしい。。。。。笑い

＞与式＝xy＋√3*（x/y）

　　　　↓

与式＝4x＋√3*（x/y）

つまり、係数に着目した解法というわけだ。

回答No.2

take_5

簡単のために、sinθ＝x、cosθ＝yとする。
θ＝10°とすると、sin3θ＝3x-4x＾3、cos3θ＝4y＾3-3y.
sin3θ＝1/2より8x＾3-6x＝-1.同様に、cos3θ＝√3/2より、8y＾3-6y＝√3.

与式＝xy＋√3*（x/y）＝x（24x-32x＾3）＋x（8y＾2-6）＝24x＾3－32x＾4+8x（1-x＾2）-6x＝x{-32x＾3-8x＾2＋24x＋2}＝x{-32x＾3-8x＾2＋24x＋（12x-16x＾3）}＝x{-48x＾3-8x＾2＋36x}＝x{-8x＾2-36x＋36x＋6}＝6x-8x＾3＝1.

回答No.1

info22

> 図形的に示せると聞いたのですが。
その情報は当方では分かりかねます。その情報源に近いのは質問者さんの方ですからご自分で調べて下さい。

4sin10°cos10°=2sin20°
=2sin(30°-10°)=2(sin30°cos10°-cos30°sin10°)
=cos10°-(√3)sin10°
従って
4sin10°cos10°=cos10°-(√3)sin10°

両辺をcos10°で割れば
4sin10°=1-(√3)tan10°

移項して
∴4sin10°+(√3)tan10°=1
(証明終わり)

お礼

ありがとうございます。検索して、似たような等式を見つけました。
なにか統一的に解釈して、もっと一般的な公式に昇華することはできないでしょうか。
------------------
I=tan(3π/11)+4sin(2π/11)
t=3π/11とする

　　　11t=3π
　⇔　6t=3π-5t
　⇒　sin(6t)=sin(3π-5t)　　←両辺のsinを取った
　⇔　2sin(3t)cos(3t)=sin5t　　←2倍角の公式
　⇔　2｛3sint-4(sint)^3｝｛4(cost)^3-3cost｝=16(sint)^5-20(sint)^3+5(sint)　　←3倍角，5倍角の公式
　⇔　2｛3-4(sint)^2｝｛4(cost)^3-3cost｝=16(sint)^4-20(sint)^2+5　　←(sint)≠0で割った
　⇔　32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1=0　　←(sint)^2=1-(cost)^2，x=costを使って整理した

以上よりx=cos(3π/11)は
32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1=0の解

(2π/11)=｛1-(9/11)｝π=(π-3t)より
I=tan(3π/11)+4sin(2π/11)
　=tant+4sin(π-3t)
　=tant+4sin3t
　=(sint/cost)+4｛3sint-4(sint)^3｝
　=(sint/cost)｛16(cost)^3-4(cost)+1｝

I^2=(sint/cost)^2｛16(cost)^3-4(cost)+1｝^2
　=｛(1-(cost)^2)/(cost)^2｝｛16(cost)^3-4(cost)+1｝^2
　=｛(1-x^2)(16x^3-4x+1)^2｝/x^2　　←x=cost

分子の｛(1-x^2)(16x^3-4x+1)^2｝を
｛32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1｝で割ると
余りは11x^2　　←商は省略

以上よりI^2=11x^2/x^2=11