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有理数みたいな無理数
exp（π）-π＝１９.９９９０９９９７９... といったふうに、整数に近い値になります。 このように、無理数を使って、簡単な演算で無理数なんだけど（或は無理数らしい）、 その値いが整数、或は、有理数に近くなる例は、他にないですか？
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質問の意図とは違うかもしれませんが、「もっとも美しい比率」といわれる黄金比1:(1+√5)/2 は無理数ですが、フィボナッチ数列 0,1,1,2,3,5,8,... (a_n=a_(n-1)+a_(n-2) ) の隣り合う項の比 a_n:a_(n+1) の極限になりますので、nが大きくなるにつれて、この有理数は黄金比に近づきます。
演算であらわせば、aを無理数である定数とします。Nを自然数とします。 x=1-a/N とすれば、xも無理数になります。で、Nを大きくすれば、xはいくらでも1に近づけます。 ・・・でも、これはつまらない例ですね(^^;。 質問者様はもっと面白い例が欲しいのでしょうが、なかなか思いつきません。すみません。<(_O_)>。 eのπ乗引くπのe乗は、結構0に近いかも・・・。
0.999...という形で、ある桁以後が...314159...と円周率の形になっていれば、循環小数にならないので、無理数ですね。 9の数を増やせば1にいくらでも近づけます。（だんだん自信がなくなってきましたが）。
すみません。前の答えは間違いです。これは一種の循環小数なので有理数です。
0.999...という具合に小数点以下9が並んでいるが、どこか1桁だけ、9ではない、という無限小数を考えることができます。循環小数ではないので無理数ですね。 その桁が小数点以下第n桁目の場合、nを大きくすれば、いくらでも1に近い無理数を考えることができます。
uzo様ご指摘の数は。 exp(π*√163)=2625374126040768743.9....(9が12桁続く) [{log(640320^3+744)}/2]^2=163.0....(0が28桁続く) です。 「オイラーの贈り物」は良い本です、私も未読の方にはお勧めしたい。 uzo様割りこみ失礼いたしました。
- ryouchi
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http://www.imai.gr.jp/japanese/vector/no0041.html には、 「 ｅｉ・π＝－１ 故に神は存在する？？？ 」 とすごい証明がされていました。
- uzo
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今、手元にないのですが 吉田武『オイラーの贈り物』海鳴社 の中に いくつかこのような数がでていたのを記憶しています。 なかなか感動的でした。 この本、４・５年前？にでた一般向け数学書では ベストセラーなので、比較的入手しやすいと思います。
お礼
２００１年出題なのにありがとうございました。 ラマヌジャンはそういった数をいくつも示したようですね。