三角関数でお願いします。

質問

三角形ABCにおいて、
cosA+cosB+cosCのとりうる値の範囲を求める問題です。とりあえず、cosA+cosB-cos(A+B)として、その先が見当つきません。先生は一方は固定して一方だけ動かすとか言っておりましたが、前にもそんな問題があって、そのときもよくわかりませんでした。解説とともに類題まで用意して頂けるという熱い方がいれば、感謝のあまりパソコンの前で大泣きます。

回答No.5

mister_moonlight

又、やってしまった。
どうも、掲示板の書き込みは苦手です。ごめんなさい。

＞√{(1-cosＢ)＾2＋(sinＢ)＾2}sin(Ｂ＋α)＋cosＢ≦√{(1-cosＢ)＾2＋(sinＢ)＾2}＝cosＢ＋2*sin(Ｂ/2)と変形します。

　　　　　　　　　　　　↓

√{(1-cosＢ)＾2＋(sinＢ)＾2}sin(Ａ＋α)＋cosＢ≦√{(1-cosＢ)＾2＋(sinＢ)＾2}＋cosＢ＝cosＢ＋2*sin(Ｂ/2)と変形します。

補足

返事遅れてごめんなさい。ありがとうございます。とてもよく分かりましたが、問題はとりうる値の範囲です。最小値がない事は直感的にわかるのですが、不等式でとりうる値は表せますよね? a<P<=3/2 となるaの値をどうやって求めるのか教えていただきたいのですが…面倒なこと言ってすみません（苦笑）

回答No.4

mister_moonlight

＞先生は一方は固定して一方だけ動かすとか言っておりましたが、前にもそんな問題があって

先生は「2変数の問題」と言ってるんだと思います。
私の先の解答も本質的に同じなのですが、先生の期待している方法(？)で解いてみます。

ＡとＢの２つの変数があって、まずＢを定数と見て、Ａを動かしてＢの式を求めます。
次に、今度はＢを動かして最大値を求めます。

Ｐ＝cosA+cosB+cosC＝cosA+cosB-cos(A+B)＝(1-cosＢ)cosA＋sinＢ*sinＡ＋cosＢ＝√{(1-cosＢ)＾2＋(sinＢ)＾2}sin(Ｂ＋α)＋cosＢ≦√{(1-cosＢ)＾2＋(sinＢ)＾2}＝cosＢ＋2*sin(Ｂ/2)と変形します。

後は、前の解法と同じです。

＃質問された方は高校生と思います。
ラグランジュの未定乗数法なんか高校で習うとは思えません。

回答No.3

ojisan7

このような問題にこそ、ラグランジュの未定乗数法が適しています。束縛条件をA+B+C-π=0として、cosA+cosB+cosCの極値を求めればよいのです。計算すると、No1,No2さんと同じ結果が導かれます。

回答No.2

mister_moonlight

相変わらず、書き込みのミスがあります。
ごめんなさい。

＞(2)において、cosA＋2*sin(Ａ/2)≦-2{sin(Ａ/2)-1/2}＾2＋3/2≦3/2.

cosA＋2*sin(Ａ/2)≦　→　cosA＋2*sin(Ａ/2)＝

それと、最大値は存在しますが、最小値はありません。
何故か？

回答No.1

mister_moonlight

Ｐ＝cosA+cosB+cosC‥‥(1)

cosB＋cosC＝2*cos(Ｂ＋Ｃ)/2*cos(Ｂ-Ｃ)/2≦2*cos(Ｂ＋Ｃ)/2＝2*sin(Ａ/2)
従って、Ｐ≦cosA＋2*sin(Ａ/2)‥‥(2).但し、等号成立は、Ｂ＝Ｃの時。
(2)において、cosA＋2*sin(Ａ/2)≦-2{sin(Ａ/2)-1/2}＾2＋3/2≦3/2.等号成立は、Ａ＝π/3.
つまり、三角形が正三角形の時。

＞類題まで用意して頂けるという熱い方がいれば、感謝のあまりパソコンの前で大泣きます。

こんな問題なら、いくらでも作れますよ。
(1)三角形ABCにおいて、cosAc*osB*cosCのの最大値を定めよ。
(2)三角形ABCにおいて、sin(Ａ/2)*sin(Ｂ/2)*sin(Ｃ/2)の最大値を定めよ。

未だ難しいものも作れますけれど。。。。。。。