余弦の和

質問

三角形ABCの内角をA,B,Cとおくとき、cosA+cosB+cosCのとり得る範囲を求める、賢い解法はないでしょうか？
cosではなくsinの場合は角度がπ以下のとき、sinの描く曲線が凸図形になるので、凸不等式を利用してすぐに出ます。
cosでは凸ではないので、この解法ではできません。

回答No.1

mister_moonlight

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝πより、cosB+cosC＝2cos（Ｂ＋Ｃ）/2*cos（Ｂ-Ｃ）/2≦2cos（Ｂ＋Ｃ）/2＝2sin（Ａ/2）。等号は、Ｂ＝Ｃの時。
つまり、cosA+cosB+cosC≦cosA＋2sin（Ａ/2）＝-2{sin（Ａ/2）-1/2}＾2＋3/2≦3/2.　この時、Ａ＝π/3.
よつて、最大値は　Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝π/3の時。

最小値はない。Ａ→0、Ｂ→0　としてみると、cosA　→1、cosB→1　、cosC　→　-1　より、cosA+cosB+cosC＞1.

以上より、1＜cosA+cosB+cosC≦3/2.