積分の応用問題

質問

関数f(x）＝∫《上がx、下がー２》（t＋１）(t－a）dt
についてなんですが、a＞０において、f(x）の極値を求めて、直線L:y＝－x－２と曲線C:y＝f(x）が接するようなaの値を求めたいんですが、何からはじめていいかも分かりません。詳しく教えて下さい。

回答No.2

debut · ベストアンサー

まず、F(x)=∫《上がx、下が定数》f(t)dtのとき、F'(x)=f(x) となる
ことはいいですか？
このことから、f'(x)=(x+1)(x-a)
a＞0なので、増減表をかいて、x=-1（極大)、x=a（極小) のときで、
極値は∫《上が-1、下が-2》(t+1)(t-a)dtと
∫《上がa、下が-2》(t+1)(t-a)dtを計算。
※
この場合は普通にｔで積分してf(x)=(1/3)x^3+{(1-a)/2}x^2-ax+2/3と
しておいた方が使い勝手がいいのかも。

後半。
一番最初の式から、f(-2)=0なので、曲線Cは(-2,0)を通り、直線Lも
(-2,0)を通るから、これらを連立して作った３次方程式
(1/3)x^3+{(1-a)/2}x^2+(1-a)x+8/3=0・・・☆
の１つの解はx=-2。
なので、☆はx+2で割り切れ、実際に割り算をして
(1/6)(x+2){2x^2+(-3a-1)x+8}=0・・・★
x=-2のときはグラフの形からも交点になるので、２つが接するためには
★式の{ }内が重解を持てばよいことになるので、判別式＝０

お礼

分かり易い回答ありがとうございました。
とてもよく分かりました！！

回答No.1

raisedead

まずはf(x)をxで微分します。
f'(x)=(x-1)(x-a)になります。（∵定数は微分すると０）
f'(x)=0のとき、x=1,0
ここで,
0<a<1,a=1,a>1で場合分けして、増減表を書いてみてください。