ネット上で拾っスカラー場のおかしな問題です（笑）。

質問

関数 f(x,y) は全微分可能であるとし、C:f(x,y) = k を f の等位曲線とする。このとき、C 上の点 (a,b) における C の接線の方程式を求める。

　問題文はこれだけで、答えは
> ∂f(a,b)/∂x(x-a)+∂f(a,b)/∂y(y-b)=0 ・・・・・(#)
とあったのですが、意味がわかりません。
　　∂f(a,b)　　　　∂f(a,b)
　　────(x-a) + ────(y-b) = 0
　　　∂x　　　　　　∂y
のことだと思います。定数を偏微分しているので確かに0だとは思いますが（笑）。

　変数を新たに追加して以下のように解いてみましたが、(#)になりそうもありません。

　点P0(a,b)を通る等位曲線 C を パラメータ t を使って
　　C:　x = x(t),　y = y(t)
で表す。
　　a = x(t0),　b = y(t0)
としたとき C は
　　f(x(t),y(t)) = f(a,b)
を満たす。
　両辺を t で微分すると
　　(∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt) = 0.
　したがって
　　(∂f/∂x, ∂f/∂y)・(x'(t), y'(t)) = 0.
　求める接線の方程式は
　　(x, y) = (a, b) + m(x'(t), y'(t)).

回答No.1

info33 · ベストアンサー

(#)は

{[∂f/∂x]_(a,b)} * (x-a)+{[∂f/∂y]_(a,b)} * (y-b) =0

のことだと思います。

ex.
f(x,y)=x^2+y^3-2xy, C: f(x,y)=k,
f(a,b)=a^2+b^3-2ab=k,
f_x (x,y) = ∂f(x,y)/∂x = 2x-2y, f_x (a,b) = 2a-2b,
f_y (x,y) = ∂f(x,y)/∂y = 3y^2-2x, f_y (a,b) = 3b^2-2a,

接線の方程式は
2(a-b) (x-a)+(3b^2-2a) (y-b)=0,
k=a^2+b^3-2ab

(フリーソフトGRAPESなどを使ってグラフを確認してみてください。)

お礼

懇切丁寧な回答、まことにありがとうございました。