三角比の問題が全く解けません。助けてください。

質問

数学検定準２級を受けるのですが、三角比のところが全然分かりません。
昨日も準２級の分からないところを質問して、結構解決したのですが、
三角比の問題が全然解けません。

数検の参考書の問題では・・。

三角形ＡＢＣがあります。
ＡＢ（底辺）＝３cm、ＢＣ＝５cmで∠Ｂが１２０度です。
このとき、ＣＡの長さは何ですか。

というものがあるのですが、これの解説を見ると、

ＣＡ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2－２ＡＢ・ＢＣ・cos120°
　　　＝３^2＋５^2－２×３×５×（－１/２）
　　　＝９＋２５＋１５
　　　＝４９

となっています。

cosθ＝斜辺/底辺＝５/３だと思ったのですが、
解説を見ると－１/２になっています。
120°が関係していると思うのですが、120°をかけたり割ったりしても、
－１/２にはなりません。
他の問題も同じような感じで、僕が考えていた答えとは全く違います。
どのようにして解けばいいのですか？

回答No.7

debut · ベストアンサー

もちろん、余弦定理などを知った上で解くことがいいかもしれませんが、
２辺とはさむ角から他の１辺を求めるのに、特別な三角形（30°・60°・
90°、45°・45°・90°）の辺の比と三平方の定理を知っていれば
求めることは可能です。

この問題であれば、ＡＢを延長してＣからそこに垂線を下ろせば、120°
のとなりが60°になることから、辺の比でこの垂線の長さなどが求め
られ、全体の直角三角形で三平方を使えばＡＣが出ます。

試験まで時間がないということなので、余弦定理などが覚えられなかった
ときは試してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。

＞特別な三角形（30°・60°・90°、45°・45°・90°）の辺の比と
＞三平方の定理を知っていれば求めることは可能です。
なるほど・・そういう解き方もあったんですね(^^
・・それ以前に三角形の辺の比が分かりませんでしたorz
直角三角形の方は、１：２：√３で、
二等辺三角形のほうは、１：１：√２なんですね。覚えなきゃ(^^;

回答No.6

pyon1956

ひょっとして質問者は中学生以下でしょうか？それならわからないのも無理はありませんが、ご質問の内容は高等学校の数学Iの内容にあるものです。準2級は数学I・A相等ですから、やはり数学I・Aの参考書がないと無理でしょう。
とりあえず、
http://www.geisya.or.jp/%7Emwm48961/koukou/index_m.htm
http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/top.htm
といった辺りを参考に勉強されるのがいいかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。

＞ひょっとして質問者は中学生以下でしょうか？
中学３年生の男子です。高校数学はあまり分かりません(^^;

素晴らしいサイトを教えてくださりありがとうございます。
検定合格目指して頑張ります(^^

回答No.5

ichigobunn

そうですね。いちいち円は大変です。
サイトの表をおぼえると一番です。
90°を中心に正、負がありますから、それを区別すれば間違いがないです。
今のあなたの年齢なら、特に簡単でしょう。

また、頭の中で十（じゅうじ）を考えて、第１象限から第４象限へ変わるとき、負の記号がどれに付くか位置をおぼえたりすると簡単かもしれません。

頑張ってね。

お礼

回答ありがとうございます。

＞90°を中心に正、負がありますから、それを区別すれば間違いがないです。
つまり、正のものを暗記すればＯＫですよね？
（sinθだけ全部正の数なので、ちょっとややこしいですが・・）
今日、日本国憲法の第９条を暗記したのですが、
それに比べれば意外と暗記しやすいかもしれません・・。
みなさんのお陰で三角比は大体理解できました。ありがとうございます。
また分からないところがあったら質問させていただきますね(^^;

＞頑張ってね。
検定合格頑張ります。高校数学をマスターして友達に差をつけたいです(^^

回答No.4

yksr400

>>○度の時はこうなる、というのを暗記したほうが良いのでしょうか？
その通りです。しかし、角度がきれいに出るのはほんの二つのパターンなのでそれだけ覚えれば大丈夫です。
(1)正方形を対角線で半分に切った三角形
この場合角度は45度となり、斜辺を１として、sinθ=cosθ=√2/2となります。
(2)正三角形を垂直二等分線で半分に切った三角形
60度をθとすれば、sinθ=√3/2，cosθ=1/2また、30度をθとすればcosθ=√3/2，sinθ=1/2です。
つまり、30度、45度、60度の三つしかきれいな角度では出ないのです。
後はこれに90度足せば第二象限，180度足せば第三象限，270度足せば第四象限になります。
sin35度は？と聞いてすぐわかる人はなかなかいないでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

＞つまり、30度、45度、60度の三つしかきれいな角度では出ないのです。
なるほど・・、確かにNo.1さんが教えてくださったサイトには、
３０度、４５度、６０度、１２０度、１３５度、１５０度が載ってました。
９０度を境目として、両端の数字はsinθを除いて正になるか負になるかの違いですよね。
そのsinθは全部正の数と余計に簡単ですし。
３０度、４５度、６０度を覚えれば完璧みたいですね。
ということは、覚えるのは９種類だけですね。

回答No.3

joe_oshietegoo

最近、パズル感覚でgooの質問を解いてます。
この問題だけでいいなら三角関数いらないですね。

>○度の時はこうなる、というのを暗記したほうが良いのでしょうか？
あれっ？覚えませんでしたか？角度で３０，４５，６０，９０度の数値は簡単なので覚えましょう。
後はsin,cos,tanのグラフを思い浮かべればわかりますので。
２０年以上経った今も覚えてますし^^;

お礼

回答ありがとうございます。

＞あれっ？覚えませんでしたか？
＞角度で３０，４５，６０，９０度の数値は簡単なので覚えましょう。
やっぱり覚えたほうが良いんですね、覚えます。
僕は中３なので、高校数学が全く分かりません。
そのため、ここで質問してみました。
昨日、サインコサインタンジェントを知ったばかりです(^^;

回答No.2

toshi_2000

直角三角形の場合は、cosθ＝斜辺/底辺ですが、この場合直角三角形ではありません。
cos120度を求めるには、No.1さんのＵＲＬを参照下さい。

お礼

回答ありがとうございます。

やっと解き方が分かりました。

１．円を書く
２．円の中心を通るｘ座標とｙ座標を書く
３．ｘ軸からθ（上の問題だと１２０°）になるように直線ＯＰを書く。
４．Ｐのｘ座標を求める。（上の問題だと－１）
５．鈍角三角形の場合、cosθ＝x/rなので－１/２になる。
６．余弦定理で解く。

ということでＯＫでしょうか？

しかし、問題を解くたびにいちいち円書いて～というのは面倒ですよね・・。
コンパスと定規、分度器が無きゃできないですし。
○度の時はこうなる、というのを暗記したほうが良いのでしょうか？
・・でも暗記するのも多いですね・・。
あと一週間ちょっとで本番なのですが、覚えられるかな・・orz

回答No.1

ichigobunn

三角比は1:2:√3です。
下記のサイトを見られるとわかりますよ。
頑張ってね。

参考URL：

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/donkaku/donkaku.htm

お礼

回答ありがとうございます。

やっと解き方が分かりました。

１．円を書く
２．円の中心を通るｘ座標とｙ座標を書く
３．ｘ軸からθ（上の問題だと１２０°）になるように直線ＯＰを書く。
４．Ｐのｘ座標を求める。（上の問題だと－１）
５．鈍角三角形の場合、cosθ＝x/rなので－１/２になる。
６．余弦定理で解く。

ということでＯＫでしょうか？

しかし、問題を解くたびにいちいち円書いて～というのは面倒ですよね・・。
コンパスと定規、分度器が無きゃできないですし。
○度の時はこうなる、というのを暗記したほうが良いのでしょうか？
・・でも暗記するのも多いですね・・。
あと一週間ちょっとで本番なのですが、覚えられるかな・・orz