証明

質問

(1/1＾2)+(1/2＾3)+(1/3＾3)+…+(1/n＾3)<5/4が成り立つことを示す問題をとくとき
どうして
k＾3>(k-1)k(k+1)が成り立つことを考えるのですか？

Σ(n,k=2)(1/k＾3)<Σ(n,k=2) '1/(k-1)k(k+1)
から
Σ(n,k=2) '1/(k-1)k(k+1)
を計算すると
1/2*{(1/2)-1(n(n+1)}になりますが
どうしてココでは-1(n(n+1)}を引かない計算を利用するのですか？

回答No.4

postro · ベストアンサー

＞　-1/n(n+1)は考えなくてもいいのでしょうか？
＞それはどうしてですか？
言いたい（証明したい）ことは
Σ(n,k=2)(1/k＾3)＜1/4
でしょ？　-1/n(n+1)　があると
Σ(n,k=2)(1/k＾3)＜(1/4) - 1/n(n+1)
となってしまってかえってじゃま
取っも不等号は変わらないから取ってしまえ！で、
目標の　Σ(n,k=2)(1/k＾3)＜1/4　がいえます。

補足

ありがとうございます
勝手にとってしまってもいいんですね。

回答No.3

postro

#2です。訂正があります
誤：この右辺から正の数　1/n(n+1)　を引いても不等号は成立するので問題ない。
正：この右辺から負の数　-1/n(n+1)　を取ってしまってもこの不等号は成立する。

補足

-1/n(n+1)は考えなくてもいいのでしょうか？
それはどうしてですか？

回答No.2

postro

＞どうして
＞k＾3>(k-1)k(k+1)が成り立つことを考えるのですか？
k＾3>(k-1)k(k+1)が成り立つと、両辺とも正だからお互いの逆数を考えると不等号の向きが反対になり
1/k＾3＜1/(k-1)k(k+1) が成り立つことを言いたいからです。

＞Σ(n,k=2)(1/k＾3)<Σ(n,k=2) '1/(k-1)k(k+1)
＞から
＞Σ(n,k=2) '1/(k-1)k(k+1)
＞を計算すると
＞1/2*{(1/2)-1/n(n+1)}になりますが　←一部修正
＞どうしてココでは-1/n(n+1)を引かない計算を利用するのですか？　←一部修正
Σ(n,k=2)(1/k＾3)＜Σ(n,k=2) '1/(k-1)k(k+1)
この不等式が成り立つことを言いたい（右辺が左辺より大きい）
この右辺から正の数　1/n(n+1)　を引いても不等号は成立するので問題ない。

回答No.1

kyofu-chan

> どうして
> k＾3>(k-1)k(k+1)が成り立つことを
> どうしてココでは-1(n(n+1)}を引かない計算を

部分分数です。
(k - 1) * k * (k + 1) の逆数を部分分数に分けると、引く項が出てきます。