数列の公式の証明で

質問

１^３＋２^３＋３^３＋・・・＋ｎ^３＝((ｎ(ｎ＋１))/２)^２ を示す問題で、

(ｋ＋１)^４＝ｋ^４＋４ｋ^３＋６ｋ^２＋４ｋ＋１
より、
２^４＝１^４＋４×１^３＋６×１^２＋４×１＋１
３^４＝２^４＋４×２^３＋６×２^２＋４×２＋１
４^４＝３^４＋４×３^３＋６×３^２＋４×３＋１
・・・・・・・・・・
(ｎ＋１)^４＝ｎ^４＋４×ｎ^３＋６×ｎ^２＋４×ｎ＋１
となる事が分かるのですが、
解説では、上の式より
(ｎ＋１)^４＝１^４＋４(１^３＋２^３＋３^３＋・・・＋ｎ^３)＋６(１^２＋２^２＋３^２＋・・・＋ｎ^２)となり・・・
と書かれています。

しかし、この場合、
(ｎ＋１)^４＝（１＾４＋２＾４＋３＾・・・＋ｎ＾４）＋４(１^３＋２^３＋３^３＋・・・＋ｎ^３)＋６(１^２＋２^２＋３^２＋・・・＋ｎ^２)
となると思えてしまい、ここでつまづいています。

どなたか、上のように式が変換される理由を教えてください。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

◎２^４＝１^４＋４×１^３＋６×１^２＋４×１＋１
△３^４＝◎２^４＋４×２^３＋６×２^２＋４×２＋１
×４^４＝△３^４＋４×３^３＋６×３^２＋４×３＋１
・・・・・・・・・・
(ｎ＋１)^４＝□ｎ^４

左辺と右辺の第一項には共通のものがあります。

全部足し算した時に、
それらが、互いに打ち消し合うので、
左辺は、(ｎ＋１)^４が残り，
右辺は、１^４が残ることになります。

お礼

分かりやすい説明どうもありがとうございました！
やっと理解する事ができました＾＾