帰納法による証明

質問

問題：0≦a≦bならば、任意のn∈Ｎに対してa^n≦b^nであることを示せ。
［証］数学的帰納法より
［１］n=1のとき
（左辺）=a,（右辺）=b
条件よりa≦bとなり成立。
[２]n=kで成立すると仮定すると、a^k≦b^k
n=k+1のときb^k+1-a^k+1≧0を示す。
b^k+1-a^k+1=...ここからどうすればいいのでしょうか？

回答No.2

noname#17487 · ベストアンサー

b^k≧a^k 　
0≦a≦bよりb^k・b≧a^k・b≧a^k・a
∴b^k・b-a^k・a≧0
∴b^(k+1)-a^(k+1)≧0
∴b^(k+1)≧a^(k+1)
この様にn=k+1の時も成り立つ。

以上を参考にして下さい。

回答No.3

yumisamisiidesu

b^(k+1)-a^(k+1)
= (b-a)(a^kb^0+a^(k-1)b^1+…+a^1b^(k-1)+a^0b^k)
が成り立つと思いますが確認してません

　一方 inductionを使いますが別の証明もあります.
a^k<b^kのとき
0<a<bよりa^(k+1)=a(a^k)<a(b^k)<b(b^k)=b^(k+1)

回答No.1

noname#21219

仮定より、a^k≦b^kです
両辺にaをかけると
a^(k＋1)≦ab^k
ab^k=b^(k＋1)・a/bより
a^(k＋1)≦ab^k
はa^(k＋1)≦b^(k＋1)・a/bですが
書き換えると
b/a・a^(k＋1)≦b^(k＋1)となり
a^(k＋1)≦b/a・a^(k＋1)より
a^(k＋1)≦b^(k＋1)