二項定理の証明問題

質問

この問題でどうしてこの式で証明が成り立つのか分かりません。
解説を宜しくお願いします。

KnＣk＝Nn-1Ｃk-1（K＝１,２,・・・・・・・・,N）が成り立つことを証明せよ。

※nCk　と　n-1Ck-1 は組合せです。　・は掛け算です。

問題のK・n！/K！（n－k）！＝n・（n－1）！/（k－1）！{(n－1)－(k－1)}！＝Nn－1Ck－1

とても見にくい文章で申し訳ありません；；

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

階乗（！）がどのような数のかけ算になっているかをじっくり見極めれば・・・
添付のとおり、それぞれ変形していけばよいです。

※分母の「差」は、右辺も左辺も n-kで変わらないです。ここもポイントです。

お礼

解答ありがとうございます。
分かりやすく色を付けた図を載せていただいたおかげで、理解できました。

回答No.2

ferien

libroramerx

すぐに回答ほしいです
二項定理の証明問題
この問題でどうしてこの式で証明が成り立つのか分かりません。
解説を宜しくお願いします。

KnＣk＝Nn-1Ｃk-1（K＝１,２,・・・・・・・・,N）が成り立つことを証明せよ。

※nCk　と　n-1Ck-1 は組合せです。　・は掛け算です。

問題のK・n！/K！（n－k）！＝n・（n－1）！/（k－1）！{(n－1)－(k－1)}！＝Nn－1Ck－1

具体的に数を当てはめてみます。ｋ＝３、ｎ＝５に置き換わったかたちです。

３・5Ｃ3＝５・4Ｃ2　を確かめます。

３・5Ｃ3＝３・（５・４・３）／（３・２・１）
ここで３で約分すると、
＝（５・４・３）／（２・１）
＝５・（４・３）／（２・１）
＝５・4Ｃ2

左辺をｋで約分して右辺の形になります。

お礼

解答ありがとうございます。
実際に値を代入してみるのも大事ですよね。