証明方法の違い

質問

こんにちは。
毎度利用させて貰っている進学ナビの回答者の皆様に厚く感謝の意を示したく存じます。

今回は「証明方法」の違いということになりますが、恐らくとても単純であり、「悩むところじゃないよ」などといわれてしまうかもしれませんが、やはりもやもやを解消させたくて、質問するにいたりました。質問内容は以下の通りでございます。

質問：nを整数とし、S=(n-1)^3+n^3+(n+1)^3とする。（Sが偶数の時、nは偶数であることは証明済みであるとして）Sが偶数の時、Sは36で割り切れることを示せ。

＜自身の考え＞
「Sは36で割り切れる」の証明⇔「Sは4で割り切れ、且つ9でも割り切れる」の証明へ置き換えます。
ここで
S=3n(n^2+2)となり、Sが偶数の時nも偶数から、3n=偶数、(n^2+2)=偶数
なので、少なくともSは4で割り切れることがわかりました。
そして最後にSは9で割り切れることを証明すればよいのですが、ここからが質問です。（前置きが長くてすみません。）

解答には
n=3k、3k+1、3k+2(kは整数)で場合わけが行われておりましたが良くわかりません。これではn=偶数とすでに証明されているのに、n=3などの奇数の場合も考えてしまうことになります。確かにn=6のときは偶数へとなりますが・・・。
またなぜn=3k、3k+1、3k+2なのでしょうか。全体の数字を表すのには
n=3k-2、n=3k-1、n=3kとしたほうが全体の数字に及びます。解答どおりだとn=3kからですからn=1、2と時は考慮できなくなってしまい・・・。
する必要がないのか・・・・（混乱中）。
それにnは偶数だとわかっているのでn=2kでもいいはずです。しかし、そうすると確かにS=24k^3+12kとなり、9でくくれません。n=2kとしないのは9で割り切れる証明に困るから、というだけで、実質ありなのですか？
質問がぐちゃぐちゃですいません。
まさに今の自分の頭の中でございます。

お時間の許す限り、お願いします！

回答No.3

nag0720

＞n=3k-2、n=3k-1、n=3kとしたほうが全体の数字に及びます。

nが自然数だったらそうですが、整数ですよ。
| 1,2,3 | 4,5,6 | 7,8,9 |　と区切ろうと、
| 0,1,2 | 3,4,5 | 6,7,8 | 　と区切ろうと、
| -1,0,1 | ,2,3,4 | 5,6,7 |　と区切ろうと、整数全体に及びます。

なお、n=3k-2、n=3k-1、n=3k　と区切ったとしても証明は可能です。

＞それにnは偶数だとわかっているのでn=2kでもいいはずです。

証明問題や文章問題では、文に書かれている条件をすべて使わなければならないという制約はありません。
この問題は、「偶数である」という条件は「４で割り切れる」の証明に使っているからいいのですが、中にはまったく関係ない条件が書かれている場合もあります。

証明問題、文章問題では、その問題を解くためにはどういう条件が必要か不要かを自分で取捨する必要があります。

今回の場合は、「偶数である」という条件は「９で割り切れる」の証明には不要です。

補足

とてもわかりやすくてありがとうございました！
あの全然反論とかじゃないのです！ちょっともうひとつきになりまして
n=奇数（n=1,3,・・・)、を逆にS=(n-1)^3+n^3+(n+1)^3へ代入すると、
Sは奇数となってしまい、Sが偶数であれば、に反してしまうのかな・・・と・・・
・・・・・あっ。そうか。
nが奇数の時もnが偶数の時もなにかときちんと9の倍数にはなるんですよね。つまりnが偶数の時さえ満たしていればSが偶数の時は満たせる、つまりそれならnが偶数奇数まとめてn=3k,3k+1,3k+2で場合わけしてしまえばおのずとSが偶数の時を満たすということですね！

回答No.2

naniwacchi

kが奇数であるときと偶数であるときで考えてみるとわかると思います。

kが奇数であれば、3k+ 1が偶数となります。
また、kが偶数であれば、3kと 3k+ 2が偶数となります。
つまり、n= 2m（nが偶数である）と表されるパターンは kの値によって変わります。

回答全体の構成として考えると、
「4で割り切れること」と「9で割り切れること」は別々に示されてもいいはずです。
それが同じ Sに対して成り立っているので、結果 36で割り切れるということになります。

回答No.1

Tacosan

順序は変えるけどまず
・「実質ありなのですか」は「実質」の意味がわからん. 「全ての場合を尽くしている」のであればどのようにわけてもかまわない. だから, 「あとでどのようになるのか」を見越して場合分けするのは普通のこと.
で
・「n=3などの奇数の場合も考えてしまうことになります」については「9 の倍数かどうか」だけに着目しているというのがポイントです. 要は「偶数の場合に 9 の倍数である」ことを証明するのと「全ての整数に対して 9 の倍数である」ことを証明するのとで, どっちが楽かという程度.
それから
・「なぜn=3k、3k+1、3k+2なのでしょうか」ですが, 「整数」なら n = 3k, 3k+1, 3k+2 とわけようが n = 3k-2, 3k-1, 3k とわけようが同じでしょ? k = 0 とおけばいいだけなんだし.
ああ, 「4 の倍数」&「9 の倍数」だから, 最初から n = 6k, 6k+2, 6k+4 と場合分けしておけばいいんだけどね....
あるいは (n-1)^3+n^3+(n+1)^3 = 3n^3+6n = 3n(n^2-1)+9n = 3(n-1)n(n+1) + 9n とすれば, 場合分けするまでもなく全ての n に対し 9 の倍数ですな.